Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: t_c и t_d. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки a в точку b, можно записать в виде

K(b,a)=

K(b,c)

K(c,d)

K(d,a)

dx

_c

dx

_d

.

x

_c

x

_d

(2.32)

Это означает, что частица, которая

движется из точки a в точку b, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки a в точку d, потом из точки d в точку c и, наконец, из точки c в точку b. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки a в точку b, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных x_c и x_d.

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на N участков. В результате получим

K(b,a)=

x₁

x₂

…

x_N-1

K(b,N-1)

K(N-1,N-2)

…

K(i+1,i)

…

K(1,a)

dx

₁

dx

₂

…

dx

_N-1

.

(2.33)

Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени , имеет вид

K(i+1,i)=

1

A

exp

i

h

L

x_i+1– x_i

,

x_i+1+x_i

2

,

t_i+1+t_i

2

.

(2.34)

Последнее выражение является точным в первом приближении по . Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:

[x(t)]=

lim

– >0

N-1

i=0

K(i+1,i).

(2.35)

Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра K(b,a). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).

§ 6. Некоторые замечания

В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде e^iS/h или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро K(i+1,i) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.

В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на h. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.

Глава 3

ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ

В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.

Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.

Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.

§ 1. Свободная частица

Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен

L=

mx^2

2

,

(3.1)

поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде

K(b,a)=

 

lim

^{– >0}

…

exp

im

2h

_N

ⁱ⁼¹

(x

_i

– x

_i-1

)^2

x

x

dx

₁

…

dx

_N-1

.

2ih

m

– N/2

.

(3.2)

Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида