Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(
X
b
, t
b
;
X
a
, t
a
).
(3.73)
Ядро Kx здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой x, и аналогичным образом определяется ядро KX. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.
В случае нескольких частиц волновая функция (x,X,…,t) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени t одна частица находится в точке x, другая — в точке X и т.д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке x, другая—в точке X и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:
(x,X,…,t)
=
K
(x,X,…,t;x',X',…,t')x
x
(x',X',…,t')
dx'
dX'
,
(3.74)
где dx' — произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство x'.
Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат x и X, ядро K является произведением двух функций, одна из которых зависит от x и t, а другая же — от X и t. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определённый момент времени является произведением функции от x на функцию от X, т.е. =f(x)g(X), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро K описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция уже не будет простым произведением.
Если даже в первоначальной системе координат действие S и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.
§ 9. Интеграл по траекториям как функционал
Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближённые методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удаётся применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как
K(b,a)
=
b
a
b
a
exp
i
h
tb
ta
m
2
x^2
dt+
i
h
tb
ta
M
2
X^2
dt+
+
i
h
tb
ta
V(x,X,t)
Dx(t)DX(t).
(3.75)
Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям X(t). Результат формально можно записать в виде
K(b,a)
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
m
2
x^2
dt
T[x(t)]Dx(t),
(3.76)
где
T[x(t)]
b
a
exp
i
h
tb
ta
M
2
X^2+
V(x,X,t)
dtDX(t).
(3.77)
Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы X, даёт функционал T. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь A=f(y)dy является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде A[f(y)], чтобы показать, что A зависит от функции f(y). Мы не пишем A(f(y)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.е. считать, что A зависит только от того, какое значение принимает f в некоторой определённой точке y. Это не тот случай. Величина A[f(y)] зависит от вида всей функции f(y), но не зависит непосредственно от y.
Функционал, определённый выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала V из точки Xa в точку Xb переходит лишь одна частица X. При вычислении этот потенциал берётся в предположении, что x фиксировано, в то время как X изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы X, когда частица x движется вдоль некоторой определённой траектории. Ясно, что амплитуда T зависит от выбора траектории x(t), поэтому мы и записываем её в виде функционала от x(t). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды T на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям x(t).
Таким образом, амплитуда K, как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной — отвечающей движению частицы X между заданными конечными точками, когда траектория x(t) фиксирована, и другой — амплитуды вероятности того, что частица x движется именно по этой фиксированной траектории. Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям x(t). Важно чётко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займёт одну из последующих глав.