Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
–
(Hg)*f
dx
=
–
g*(Hf)
dx.
(4.30)
Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию g, подействовать на неё оператором H, получить Hg и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на f и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину Hf, умножить её на функцию, комплексно-сопряжённую g, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение (Hg)*fdx (по частям, где это необходимо).
Если
–
h^2
2m
–
d^2g*
dx^2
fdx
+
–
Vg*fdx
=
=-
h^2
2m
dg*
dx
f-g*
df
dx
–
–
h^2
2m
–
g*
d^2f
dx^2
dx
+
–
Vg*fdx
(4.31)
(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции f и g на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.
Положив функции f и g равными (x,t), получим
(H)*
dx
=
*(H)
dx
,
(4.32)
и если функция удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как
*
dt
dx+
*
dt
dx
=
dt
*
dx
=0.
(4.33)
Отсюда видно, что величина *dx не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция соответствующим образом нормирована, то * выражает вероятность найти систему в точке x, поэтому интеграл от * равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдёт в произведение *, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.
В нашем толковании функции как амплитуды вероятности равенство интеграла от * константе является совершенно фундаментальным. На языке функций K это означает, что в момент времени t2 интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени t1 т.е. если
(2)=
K(2,1)
f(1)dx
1
,
(4.34)
то
*(2)(2)dx
2
=
f*(1)f(1)dx
1
,
(4.35)
или
K*(2;x
'
1
,t
1
)
K*(2;x
1
,t
1
)
f*(x
'
1
)
f(x
1
)
dx
1
dx
'
1
dx
2
=
=
f*(x
1
)
f(x
1
)
dx
1
.
(4.36)
Так как это должно выполняться для любой функции f, то
K*(2;x
'
1
,t
1
)
K*(2;x
1
,t
1
)
dx
2
=
(x
'
1
– x
1
).
(4.37)
Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро K удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шрёдингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра K как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда t1=t2– , оно непосредственно следует из выражения exp(iL/h) Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряжённые величины, как * или K*, не очевидны сами по себе.
Умножая обе части выражения (4.37) на функцию K(1,3) и интегрируя по переменной x1 можно показать, что для t2>t1>t3
K*(2,1)
K(2,3)
dx
2
=
K(1,3).
(4.38)
Сравним это с равенством
K(1,2)
K(2,3)
dx
2
=
K(1,3),
где t1>t2>t3. Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка t3, то K(2,3) даёт нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени t2. Если мы хотим перейти к ещё более позднему моменту времени t1 то это можно сделать, используя ядро K(1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени t2, мы захотим вернуться назад, чтобы определить её в более ранний момент времени t1<t2, то это можно сделать, используя ядро K*(2,1) в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряжённого ядра K*(2,1) компенсирует действие ядра K(1,2).
Задача 4.7. Покажите, что если t1<t3, то левая часть равенства (4.38) равна K*(3,1).
§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени
Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан H оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие S, не зависящее явным образом от времени t (например, когда потенциалы A и V не содержат время t). В таком случае ядро зависит не от переменной времени t, а будет функцией лишь интервала t2– t1. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.