Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(4.56)
Используя теперь для коэффициентов an выражение (4.50), получаем
(x,t
2
)
=
n=1
n
(x)
exp
–
i
h
E
n
(t
2
– t
1
)
–
*
n
(y)
f(y)
dy
=
=
–
n=1
n
(x)
*
n
(y)
exp
–
i
h
E
n
(t
2
– t
1
)
f(y)
dy
.
(4.57)
Эта формула выражает волновую функцию в момент времени t2 через волновую функцию f(x), относящуюся к моменту времени t1. Ранее мы выражали это соотношением
(x,t
2
)
=
–
K(x,t
2
;y,t
1
)
f(y)
dy
.
(4.58)
Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра K(2,1):
K(x
2
,t
2
;x
1
,t
1
)
=
=
n=1
n
(x
2
)
*
n
(x
1
)
exp
–
i
h
E
n
(t
2
– t
1
)
,
если t
2
> t
1
,
0,
если t
2
< t
1
.
(4.59)
Задача 4.10. Проверьте, что ядро K определённое соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шрёдингера.
Представление ядра K в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определённое ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).
Задача 4.11. Покажите, что в трёхмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц
p
=
e
(i/h)p·r
(4.60)
соответствуют энергии Ep=p^2/2m. Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса n вектор p, т.е. докажите, что для p/=p'
r
*
p
p'
d^3r=0
даже если E
p
=E
p'
.
(4.61)
В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение
K
0
(r
2
,t
2
;r
1
,t
1
)
=
p
exp
–
i
h
p·(r
2
– r
1
)
exp
–
ip^2(t1– t1)
2hm
.
(4.62)
Так как векторы p составляют континуум, сумма по «индексам» p фактически эквивалентна интегралу по всем значениям p, т.е.
p
=
p
d^3p
(2h)^3
.
(4.63)
Ядро для случая свободной частицы запишется как
K
0
(r
2
,t
2
;r
1
,t
1
)
=
p
exp
–
i
h
p·(r
2
– r
1
)
exp
–
ip^2(t1– t1)
2hm
d^3p
(2h)^3
.
(4.64)
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т.е. представляет собой трёхмерное обобщение выражения (3.3)].
§ 3. Нормировка волновых функций свободной частицы
Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведённый в задаче 4.11, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по различным состояниям n, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы. Во-вторых, волновые функции для свободных частиц [плоские волны], хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как