Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
В § 1 этой главы мы покажем, как можно описать квантовомеханическую систему, используя понятия импульса и энергии. Далее, в § 2 мы расширим рассмотрение, что позволит нам в общем случае исследовать квантовомеханическую систему в различных представлениях. Преобразующие функции, которые позволяют переходить от одного представления к другому, имеют много интересных свойств. Среди них понятие оператора, которое было введено в гл. 4 и будет обсуждаться далее в § 3.
§ 1. Импульсное представление
Амплитуда вероятности в импульсном пространстве. Выше мы пользовались понятием вероятности, имея в виду определение положения частицы; теперь допустим, что мы хотим измерить её импульс. Спрашивается, существует ли
Такая амплитуда действительно есть, и мы легко можем её найти. Некоторые способы измерения импульса (или других физических величин) соответствуют измерениям пространственных координат, и, следовательно, они могут быть изучены, если мы знаем, как анализировать измерения координат. Так, например, ограничиваясь одномерным случаем, предположим, что частица при t=0 находится в области ±b около начала координат оси x. Неопределённость b может быть сколь угодно большой, оставаясь, однако, конечной. Мы можем измерить импульс такой частицы, пользуясь измерением времени её пролёта, т.е. мы можем пронаблюдать, насколько переместилась частица за время t=T (предполагая отсутствие сил). Если новое положение частицы есть x, то её скорость равна x/T, а импульс p=mx/T. Ошибку такого измерения импульса ±mb/T можно сделать сколь угодно малой, если время T выбрать соответственно достаточно большим.
Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность P(p), определяемую в таком эксперименте. P(p)dp — вероятность того, что значение импульса находится между p и p+dp, равна вероятности P(x)dx того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени T будет находиться между точками x+dx. Конечно, это обусловлено тем, что импульс p связан с координатой x равенством p=mx/T. Допустим, что волновая функция частицы в момент времени t=0 имеет вид f(y), и наша задача заключается в том, чтобы выразить вероятность P(p) непосредственно через волновую функцию f(y).
Амплитуда вероятности того, что частица придёт в точку x в момент времени t=T, равна
(x,t)
=
–
K
0
(x,T;y,0)
f(y)dy
.
(5.1)
После подстановки ядра K0, описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид
(x,t)
=
m
2ihT
1/2
exp
imx^2
2hT
–
exp
– imxy
hT
exp
imy^2
2hT
f(y)dy
.
(5.2)
Квадрат модуля амплитуды (x,T) даёт вероятность нахождения частицы между точками x и x+dx. В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе T->) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между p и p+dp:
P(x)dx
=
mdx
2hT
–
exp
im
2hT
(y^2-2xy)
f(y)dy
^2
=
P(p)dp
(5.3)
при T->. Подстановка p=mxT с учётом предельного перехода к большим T приводит к выражению
P(p)dp
=
dp
2h
–
exp
imy^2
2hT
–
ipy
h
f(y)dy
^2
.
(5.4)
Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±b - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция f(y) спадает до нуля для значений y, больших по абсолютной величине, чем b. Далее, при возрастании T величина imb^2/2hT становится пренебрежимо малой. Так как значения y, большие по абсолютной величине, чем b, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность P(p)dp будет приближённо равна произведению dp/2h на квадрат модуля амплитуды 1)
(p)
=
+
–
exp
– ipy
h
f(y)dy
.
(5.5)
1) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2h в определение амплитуды (p), куда он входит как 1/2h Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2h для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен d^3p/(2h)^3.
Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.
Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.
В точке x в интервале времени T она является произведением двух функций. Одна из них f(y) — амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки y как это показано пунктирной линией. Вторая — ядро для свободной частицы K(x,T;y,0) — является амплитудой перехода из точки y в точку x; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение x мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как y у нас — переменная величина. Если расстояние точки x от начала координат значительно больше расстояния между точками -b и +b, где функция f(y) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.
Приближённо её можно записать в виде exp[(-i/h)(mx/T)y] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки x эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по y. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время T (опять-таки в предположении x>>b), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен p=(mx/T).