Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае
k(x
2
,E
2
;x
1
,E
1
)
=
e
(ih)E2t2
K(x
2
,t
2
;x
1
,t
1
)
e
– (i/h)E1t1
dt
2
dt
1
.
(5.20)
Покажите,
k(x
2
,E
2
;x
1
,E
1
)
=
2hi
(E
2
– E
1
)
m
m(x2)*m(x1)
E1– Em+i
,
(5.21)
где m — собственные функции, а Em — собственные значения оператора H.
§ 2. Измерение квантовомеханических величин
Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен p. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.
Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы A (например, x-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности P(a); оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение A будет найдено равным a.
В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет зависеть от других переменных, необходимых для её полного определения. Посмотрим, что повлечёт за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений. Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством G. Например, G может означать утверждение: значение величины A равно a. У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос.
Пусть некоторый прибор устроен таким образом, что если частица обладает свойством G, то она пройдёт через него и в определённом месте какого-то экрана или какой-то измерительной шкалы появится соответствующая отметка.
Вероятность такого события можно записать как
P(G)=
K
exp
(,x)
f(x)
dx
^2
,
(5.22)
если f(x) — волновая функция измеряемой системы, Kexp(,x) — ядро, описывающее прохождение частицы через данный экспериментальный прибор, а — точка, в которую попадает частица, обладающая свойством G. Эту вероятность можно представить также и в ином виде:
P(G)=
g*(x)
f(x)
dx
^2
,
(5.23)
где мы положили
g*(x)
=
K
exp
(,x)
.
(5.24)
(Задание этой функции в комплексно-сопряжённом виде принято, как мы увидим далее, только ради удобства.) Таким образом, мы можем сказать, что функция
(G)=
g*(x)
f(x)
dx
(5.25)
представляет собой амплитуду вероятности того, что система обладает свойством G. Это построение иллюстрируется фиг. 5.5.
Фиг. 5.5. Устройство, предназначенное для измерения свойства G, помещено между точкой входа налетающей частицы [волновая функция которой f(x)] и точкой выхода x=
Устройство преобразует ядро, описывающее движение (ср. фиг. 5.1 и 5.2) таким образом, что оно становится равным g(x). Произведение f(x)g(x), проинтегрированное по переменной x, представляет собой амплитуду вероятности достичь точки после прохождения через устройство.
Само свойство G определяется функцией g*(x) благодаря следующим обстоятельствам. Предположим, что для измерения данного свойства мы проводим какой-либо другой эксперимент, пользуясь другими приборами, и, следовательно, в этом случае мы должны ввести новое ядро Kexp'(,x). Пусть в этом новом эксперименте частица попадает в точку . Тогда вероятность обнаружить, что система обладает свойством G, равна
K
exp
(,x)
f(x)
dx
^2
или
g'*(x)
f(x)
dx
^2
(5.26)
Так как мы изучаем одно и то же свойство, то должны получить, во всяком случае для P(G), тот же самый результат, что и в предыдущем эксперименте. Таким образом, для произвольной функции f(x) должно выполняться равенство
g'*(x)
f(x)
dx
^2
=
g*(x)
f(x)
dx
^2
.
(5.27)
Это означает, что g*(x)=g*(x) с точностью до несущественного фазового множителя ei. Следовательно, всем методам, предназначенным для определения одного и того же свойства, соответствует (с точностью до фазы) одна и та же функция g*(x). Поэтому мы назовём функцию g*(x) характеристической функцией свойства G.