Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Af(x)
dx
=
=
–
–
f*(x)
G
A
(x,x')
f(x')
dx
dx'
.
(5.46)
Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство G*A(x,x') = GA(x',x). Принимая во внимание
–
g*(x)
Af(x)
dx
=
–
[Ag(x)]*
f(x)
dx
.
(5.47)
Всякий оператор, подобный A, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].
Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид
a,b,c,…
(r)
=
e
(i/h)p·r
(5.48)
(см. задачу 5.6). В качестве физической величины A выберем x- компоненту импульса px. Покажите, что функция GA имеет вид
G
px
(x,x')
=
h
i
'(x-x')
(y-y')
(z-z')
,
(5.49)
где '(x)=(d/dx)(x). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий x-компонете импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как
p
x
=
–
f*(x)
h
i
f
x
dx
.
(5.50)
Задача 5.10. Предположим, что величина A является пространственной координатой x. Покажите, что правильная формула для среднего значения x получается в том случае, если функция Gx(x,x') выбрана в виде
G
x
(x,x')
=
x
(x-x')
(y-y')
(z-z')
,
(5.51)
а оператор, соответствующий координате x, представляет собой просто умножение на x, т.е.
X
f(x)
=
x
f(x)
.
(5.52)
Собственныефункции и собственные значения. Действие оператора A на волновые функции a,b,c,…, определённые в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:
A
a,b,c,…
(x)
=
a
a,b,c,…
(x)
.
(5.53)
Задача 5.11.
Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например A и B, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно A(Bf)=B(Af). Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:
AB
=
BA
Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины A и B являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин A, B, C, …, соответствующих одной и той же характеристической функции a,b,c,…. Если в уравнении (5.53) оператор B поместить перед оператором A, а величину b поставить перед a, то равенство не нарушится, так что
A(B)
=
A(b)
=
b(A)
=
ba
=
ab
.
(5.54)
Это справедливо, поскольку a и b — обычные числа, а не операторы. Точно так же
B(A)
=
B(a)
=
a(B)
=
ab
.
(5.55)
Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов B и A, когда они действуют на какую-либо из функций a,b,c,…. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций .
Если -функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы AB и BA дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы A и B коммутируют.
Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату x и x-компоненту импульса px нельзя измерить одновременно.
Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов A, B, C, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений
A=a
,
B=b
,
C=c
,
….
(5.56)
Предположим, например, что операторы x-й, y-й и z-й компонент импульса px, py и pz определены соответственно как [(h/i)(/x)], [(h/i)(/y)], [(h/i)(/z)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором px имеет значение a, py — значение b, а pz — значение c?