Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Af(x)
dx
=
=
–
–
f*(x)
G
A
(x,x')
f(x')
dx
dx'
.
(5.46)
Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство G*A(x,x') = GA(x',x). Принимая во внимание
–
g*(x)
Af(x)
dx
=
–
[Ag(x)]*
f(x)
dx
.
(5.47)
Всякий оператор, подобный A, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].
Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид
a,b,c,…
(r)
=
e
(i/h)p·r
(5.48)
(см. задачу 5.6). В качестве физической величины A выберем x- компоненту импульса px. Покажите, что функция GA имеет вид
G
px
(x,x')
=
h
i
'(x-x')
(y-y')
(z-z')
,
(5.49)
где '(x)=(d/dx)(x). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий x-компонете импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как
p
x
=
–
f*(x)
h
i
f
x
dx
.
(5.50)
Задача 5.10. Предположим, что величина A является пространственной координатой x. Покажите, что правильная формула для среднего значения x получается в том случае, если функция Gx(x,x') выбрана в виде
G
x
(x,x')
=
x
(x-x')
(y-y')
(z-z')
,
(5.51)
а оператор, соответствующий координате x, представляет собой просто умножение на x, т.е.
X
f(x)
=
x
f(x)
.
(5.52)
Собственныефункции и собственные значения. Действие оператора A на волновые функции a,b,c,…, определённые в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:
A
a,b,c,…
(x)
=
a
a,b,c,…
(x)
.
(5.53)
Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что является собственной функцией оператора A, соответствующей его собственному значению a.
Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например A и B, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно A(Bf)=B(Af). Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:
AB
=
BA
Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины A и B являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин A, B, C, …, соответствующих одной и той же характеристической функции a,b,c,…. Если в уравнении (5.53) оператор B поместить перед оператором A, а величину b поставить перед a, то равенство не нарушится, так что
A(B)
=
A(b)
=
b(A)
=
ba
=
ab
.
(5.54)
Это справедливо, поскольку a и b — обычные числа, а не операторы. Точно так же
B(A)
=
B(a)
=
a(B)
=
ab
.
(5.55)
Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов B и A, когда они действуют на какую-либо из функций a,b,c,…. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций .
Если -функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы AB и BA дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы A и B коммутируют.
Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату x и x-компоненту импульса px нельзя измерить одновременно.
Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов A, B, C, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений
A=a
,
B=b
,
C=c
,
….
(5.56)
Предположим, например, что операторы x-й, y-й и z-й компонент импульса px, py и pz определены соответственно как [(h/i)(/x)], [(h/i)(/y)], [(h/i)(/z)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором px имеет значение a, py — значение b, а pz — значение c?