Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

^–

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,a)

dx

_c

dt

_c

,

(6.11)

где V(c)=V(x_c,t_c).

Пределы интегрирования по x здесь положены равными +. В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях x, или свойствами применённых установок, которые ограничивают область

изменения x.

Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовём процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием; так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объёма и единицу времени равна– (i/h)V.

Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро K_V следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки a в точку b. Эти возможности следующие:

1) частица может вообще не рассеяться

K

₍₀₎

(b,a)

,

2) частица может рассеяться один раз

K

₍₁₎

(b,a)

,

3) частица может рассеяться дважды

K

₍₂₎

(b,a)

и т. д.

В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.

В случае 1 частица под действием потенциала V движется от точки a до точки b, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой K₍₀₎(b,a). В случае 2 частица в своём движении под действием потенциала V испытывает один акт рассеяния в точке c. Этому соответствует амплитуда K⁽¹⁾(b,a). В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда K₍₂₎(b,a)], а в случае 4 — n раз, причём последнее рассеяние происходит в точке c. Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки a в точку b при любом числе рассеяний, является суммой K₀+K⁽¹⁾+K⁽²⁾+…+K⁽ⁿ⁾+….

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив ¹). Рассмотрим, например, ядро K⁽¹⁾(b,a), описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки a, движется свободно до точки x_c(t_c=c), где она рассеивается на потенциале V(c), после чего снова движется как свободная частица из точки c до конечной точки b. Амплитуда, соответствующая такой траетории, равна

K

₍₀₎

(b,c)

–

i

h

V(c)

dx

_c

dt

_c

K

₍₀₎

(c,a)

.

(6.12)

¹) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках C, суммирование по всем альтернативам является совершенно необходимым.— Прим. перев.

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договорённости, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т.е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра K⁽¹⁾ получается сложением всех таких альтернатив, т.е. интегрированием по переменным x_c и t_c.

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро K⁽²⁾ для двухкратного рассеяния в виде

K

⁽²⁾

(b,a)

=

–

i

h

^2

K

₍₀₎

(b,c)

V(c)

K

₍₀₎

(c,d)

x

x

V(d)

K

₍₀₎

(d,a)

d

_c

d

_d

,

(6.13)

где d=dxdt. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки a до точки d и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен V(d). Затем частица снова движется свободно от точки d до точки c, где она рассеивается на потенциале V(c). После чего частица движется от точки c к точке b опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т.е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что t_c>t_d. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом, примере, будем пользоваться условием, введённым ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

K(b,a)

=0 для t

_b

<t

_a

.

(6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным t_c и t_d.

Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом 1/2 , который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной t_d по-прежнему заключена в пределах от t_a до t_b. Однако область интегрирования по переменной t_c ограничена тем, что точка t_c обязана теперь находиться между точками t_d и t_b вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде