Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
2ht
d^3r
dt
.
(6.28)
Через r мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой c, d^3r — произведение дифференциалов всех компонент вектора r. Интегрирование по переменной t даёт
K
(1)
(b,a)
=
–
i
h
m
2ihT
5/2
T
r
1
ra
–
1
rb
x
x
exp
im
2hT
(r
a
+r
b
)^2
V(r)
d^3r
,
(6.29)
где ra=|Ra– r|
r
a
=R
a
1-
2Ra·r
R^2a
+
r^2
R^2a
1/2
R
a
+i
a
·r,
(6.30)
r
b
=R
b
1-
2Rb·r
R^2b
+
r^2
R^2b
1/2
R
b
– i
b
·r,
(6.31)
где ia и ib — единичные векторы соответственно в направлениях векторов Ra и Rb (т.е. ia=-Ra/Ra, где Ra=|Ra|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина Ra намного больше тех расстояний |r|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом V(r).
Члены первого порядка по r необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем
(r
a
+r
b
)^2
(R
a
+R
b
)^2
+
2(R
a
+R
b
)
(i
a
·r)
–
(i
b
·r)
.
(6.32)
Используя эти приближения, ядро K(1)(b,a) можно теперь представить в виде
K
(1)
(b,a)
–
i
h
m
2ihT
5/2
T
1
Ra
+
1
Rb
x
x
exp
im
2hT
(R
a
+R
b
)^2
x
x
r
exp
im
hT
(R
a
+R
b
)
(i
a
·r)
–
(i
b
·r)
V(r)
d^3r
.
(6.33)
Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени T электрон проходит полное расстояние, равное Ra+Rb. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет u=(Ra+Rb)/T, его энергия равна mu^2/2, а импульс равен mu. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна im[(Ra+Rb)^2/2hT], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной T, составляет
=
m
2h
(Ra+Rb)^2
T^2
.
(6.34)
Если скорость u определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна mu^2/2 [ср. соотношение (3.15)].
Дифференцирование фазы по переменной Ra даёт волновое число в точке a
k
=
m
h
Ra+Rb
T
(6.35)
а это значит, что величина импульса равна mu [ср. соотношение (3.12)].
Задача 6.5. Интеграл по переменной t в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения t из области, близкой к точке t=Ra/u и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался по классическим законам.
Используя определение скорости электрона u=(Ra+Rb)/T, запишем вектор импульса входящей частицы pa в виде
p
a
=
mu
i
a
,
(6.36)
а вектор импульса выходящей частицы pb — как
p
b
=
mu
i
b
.
(6.37)
Тогда соотношение (6.33) можно представить в виде