Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками a и b, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки c.
Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:
–
h
i
tb
K
0
(b,a)
+
h^2
2m
^2
x^2b
K
0
(b,a)
=
ih
(t
b
– t
a
)
(x
b
– x
a
)
.
(6.20)
Используя
–
h
i
tb
K
V
(b,a)
+
h^2
2m
^2
x^2b
K
V
(b,a)
+
V(b)
K
V
(b,a)
=
=
ih
(x
b
– x
a
)
(t
b
– t
a
)
.
(6.21)
§ 3. Разложение волновой функции
В § 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени ta и tb, можно получить волновую функцию для момента tb, если известна волновая функция для более раннего момента времени ta.
Здесь это уравнение нам будет удобно записать в виде
(b)
=
K
V
(b,a)
f(a)
dx
a
,
(6.22)
где f(a) — значение волновой функции в момент времени t=ta [т.е. f(a) — функция точки xa], (b) — волновая функция для более позднего момента времени t=tb 1). Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле V, где её движение описывается ядром KV(b,a).
1) Заметим, что наше условие K0(b,a) для tb<ta приводит к тому, что соотношение (6.22) становится непригодным, если tb<ta, однако в области таких значений t мы не будем пользоваться этим соотношением.
Если разложенное в ряд ядро KV [см. формулу (6.18)]
(b)
=
K
0
(b,a)
f(a)
dx
a
–
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,a)
d
c
f(a)
dx
a
+… .
(6.23)
Первый член этого разложения даёт волновую функцию для момента времени tb в предположении, что между ta и tb система остаётся свободной (или невозмущённой, в последнем случае ядро K0 нужно заменить ядром KU). Обозначим этот член через
(b)
=
K
0
(b,a)
f(a)
dx
a
.
(6.24)
Используя это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как
(b)
=
(b)
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
(c)
d
c
+
+
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,d)
V(d)
(d)
d
c
d
d
+… .
(6.25)
Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции . Если ограничиться только первыми двумя членами (т.е. учесть лишь первый порядок разложения по V), то получим первое борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале V. Это рассеяние происходит в точке c. До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией (c), после рассеяния система снова движется как свободная от точки c до точки b и описывается ядром K0(b,c). Интеграл должен быть взят по всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т.е. учитывается второй порядок по V), результат называется вторым борновским приближением и т.д.
Задача 6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция (b) удовлетворяет интегральному уравнению
(b)
=
(b)
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
(c)
d
c
.
(6.26)
Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера
–
h