Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(Числа a, b, c, … являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения
–
h
i
x
=a,
–
h
i
y
=b,
–
h
i
z
=c.
(5.57)
С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид exp[(h/i)(ax+by+cz)] Это согласуётся с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс p, описывается волновой функцией exp(h/i)(p·r).
Разложение по собственным функциям оператора
K(x
2
,t
2
;x
1
,t
1
)
=
n
n
(x
2
)
*
n
(x
1
)
exp
–
i
h
E
n
(t
2
– t
1
)
.
(5.58)
Прежде всего заметим, что функция n(x) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении x, если известно, что она находится в состоянии n. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряжённая ей функция *n(x) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии n, если она занимает положение x. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени t1 в положение 2 в момент времени t2 выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) *n(x1) — амплитуды вероятности найти систему в точке x1 если известно, что она находится в состоянии n; 2) exp[-(i/h)En(t2– t1)] — амплитуды вероятности найти систему в состоянии n в момент времени t2, если в момент времени t1 она была в состоянии n1); 3) n(x2) — амплитуды вероятности найти систему в точке x2, если мы знаем, что она находится в состоянии n.
1) Эта амплитуда не связана с изменением состояния. В этом и заключено важное значение рассматриваемых нами функций n.
Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции n(x) как функции a,b,c,…(x), рассмотренной в §2, т.е. покажите, что функция n(x) является преобразующей функцией для перехода от x-представления к представлению, определяемому числом n (так называемому энергетическому представлению).
Глава 6
МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В гл. 3 мы видели, как можно описать поведение квантовомеханической системы с помощью метода интегралов по траекториям, если в выражение функции действия S входит потенциал, имеющий только квадратичные члены. Однако потенциалы, с которыми мы встречаемся при решении ряда важных задач квантовой механики, не имеют такого частного вида и не могут быть рассмотрены столь просто. В данной главе развивается приближённый метод, который позволит рассматривать такие более сложные потенциалы. Этот метод называется теорией возмущений и оказывается особенно полезным, когда потенциал относительно невелик (по сравнению, например, с кинетической энергией системы).
Хотя разложение в ряд теории возмущений может быть получено и строго математически, ему тем не менее интересно дать физическое истолкование, которое позволяет глубже понять поведение квантовомеханических систем.
В § 4 мы займёмся некоторыми приложениями теории возмущений. Например, рассмотрим движение электрона, рассеивающегося на атоме. Оказывается, что для описания взаимодействия, сопровождающего рассеяние, полезно использовать классическое понятие поперечного сечения рассеяния, т.е. понятие эффективной площади атома-мишени по отношению к рассеивающемуся электрону. Хотя это сечение связано с реальными размерами атома, мы покажем, что оно определяется также и квантовомеханическими свойствами взаимодействующих систем.
§ 1. Ряд теории возмущений
Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала V(x,t). Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками a и b, будет иметь вид
K
V
(b,a)
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
m
2
x^2
–
V(xt)
dt
Dx(t)
.
(6.1)
Индекс V в обозначении KV отражает тот факт, что на частицу действует потенциал V. Отсюда обозначение K0 будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.
В некоторых случаях ядро KV может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила f(t). Потенциал в этом случае имеет вид
V(x,t)
=
m
2
^2x^2-xf(t)
(6.2)
[см. лагранжиан (3.65)]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной x, ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическоеприближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шрёдингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.
Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной h интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от V(x,t), может быть разложена в ряд
exp
–
i
h
tb
ta
V(x,t)
dt
=
1-
i
h
tb