Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

i

x

+

h^2

2m

^2

+

V

=0.

(6.27)

Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шрёдингера из интегрального уравнения (6.27).

§ 4. Рассеяние электрона на атоме

Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого

электрона на атоме.

Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счётчик, как это показано на фиг. 6.4.

Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.

Электроны, испаряющиеся с электрода в точке a собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах S и S' и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке O. Бо'льшая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом в точку b. Если счётчик в точке a перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния .

Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролёта. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем t=0, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счётчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки T. Тогда можно непосредственно использовать наше выражение K(b,a), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определённый промежуток времени.

Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.

Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.

Электрон выходит из точки a и движется как свободная частица до точки c, где он рассеивается атомным потенциалом V(r). После рассеяния он попадает в счётчик, расположенный в точке b на конце радиуса-вектора R_b, проведённого от рассеивающего центра O. В этом случае электрон будет рассеян на угол , отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борновскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борновское приближение, и т.д.

Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки a в момент времени t=0. С помощью счётчика, помещённого в точку b, мы узнаем, достигнет ли электрон точки b в момент времени t=T. Будем приближённо считать, что

1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;

2) атом может быть представлен с помощью потенциала V(r), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.

На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом V(r). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.

Пусть R_a и R_b — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов R_a и R_b много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал V(r) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |R_a| и |R_b|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.

Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром K₀(b,a) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом

K

⁽¹⁾

(b,a)

=

–

i

h

K

₀

(b,c)

V(c)

K

₀

(c,a)

d

_c

=

=

–

i

h

_r

 

_T

⁰

m

2ih(T-t)

3/2

exp

im|R_a– r|^2

2h(T-t)

V(r)

x

x

m

2iht

3/2

exp

im|R_b– r|^2