Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
ta
V(x,t)
dt
+
+
1
2!
i
h
^2
tb
ta
V(x,t)
dt
^2
+…,
(6.3)
который определён для некоторой частной траектории x(t). Подставляя это разложение в (6.1), получаем
K
V
(b,a)
=
K
0
(b,a)
+
K
(1)
(b,a)
+
K
(2)
(b,a)
+…,
(6.4)
где
K
0
(b,a)
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
mx^2
2
dt
Dx(t)
,
(6.5)
K
(1)
(b,a)
=-
i
h
b
a
exp
i
h
tb
ta
mx^2
2
dt
tb
ta
V[x(s),s]
dS
Dx(t)
,
(6.6)
K
(2)
(b,a)
=-
1
2h^2
b
a
exp
i
h
tb
ta
mx^2
2
dt
tb
ta
V[x(s)]
ds
x
x
tb
ta
V[x(s'),s']
ds'
Dx(t)
(6.7)
и
Чтобы не перепутать временны'е переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через s, s' и т.п.
Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро K(1). Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной x и по траектории x(t). Запишем
K
(1)
(b,a)
=-
i
h
tb
ta
F(s)
ds
,
(6.8)
где
F(s)
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
mx^2
2
dt
V[x(s),s]
Dx(t)
.
(6.9)
Интеграл по траектории F(s) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала V[x(s),s], вычисленного в момент времени s. Единственная характеристика траектории x(t), от которой зависит потенциал V, — это положение траектории в некоторый момент времени t=s. Другими словами, до и после этого момента s содержащаяся в функционале F(s) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.
Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.
Частица выходит из точки a и двигается как свободная до точки c. Здесь на неё действует потенциал Vc=V[x(s),s], происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки b. Амплитуда, описывающая такое движение, даётся выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки c, то получим член первого порядка теории возмущений.
Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту t=s, и часть, которая соответствует более позднему времени.
Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку xc именно в этот момент времени t=s. Далее мы проинтегрируем по всем значениям xc. Если точку xc(s) обозначить через c (т.е. положить s=tc), то сумму по всем таким траекториям можно записать как K0(b,c)K0(c,a). Это означает, что функционал F(s)=F(tc) можно представить в виде
F(t
c
)
=
–
K
0
(b,c)
V(x
c
,t
c
)
K
0
(c,a)
dx
c
.
(6.10)
Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) даёт
K
(1)
(b,a)
=-
i
h
tb
ta