Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

⁰

e

^{– (i/h)(E₂– p^2/2m)}

d

.

(5.14)

Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением -функции Дирака и равен 2h(E₂– E₁). Второй интеграл имеет вид

⁰

e

ⁱ

dt

.

(5.15)

Такие

интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчёт, заменим комплексным числом +i. Когда обе величины и — действительные числа, интеграл равен i/(+i).

Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при , стремящемся к нулю, и принять за результат i/. Однако такой подход привёл бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,— это ядро, и в дальнейшем её следует- проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить , то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении =0.

Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины .

Преобразовав выражение i/(+i) к виду

i(-i)

^2+^2

=

i

^2+^2

+

^2+^2

,

(5.16)

можно первый член в правой части представить как i/ и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при , стремящемся к нулю, становится равным , так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение i/(+i) должно быть заменено на PP[(i/)+]. Другими словами,

⁰

e

ⁱ

dt

=

 

lim

^{– >0}

i

+i

=

PP

i

+

.

(5.17)

В последующем во всех выражениях, содержащих , будет подразумеваться предельный переход при ->0.

Возвращаясь к вычислению ядра, заменим на E₂– (p^2/2m), после чего получим

E

₀

(p

₂

,E

₂

;p

₁

,E

₁

)

=

(2h)

⁴

^3

(p

₂

– p

₁

)

(E

₂

– E

₁

)

x

x

E

₁

–

p^2₁

2m

+i

– 1

.

(5.18)

Наличие -функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс p не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.

Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией E и импульсом p из одной точки в другую пропорциональна i[E-(p^2/2m)+i]^{– 1}.

В этой главе мы уже отмечали, что энергия E здесь, вообще говоря, не равна p^2/2m, а является независимой переменной.

Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина E является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времён T=t₂– t₁. Оно обращается в нуль при отрицательном T и начинает осциллировать при значении T=0. Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при T=0, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна из частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии E₀=p^2/2m.

Фиг. 5.4. Действительная часть ядра K₀ (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.

Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке t=0 она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.

Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель

i

=PP

i

+

E

₂

¹

–

p^2

2m

.

E

₀

– p

₂

2m+i

E

₂

– p^2/2m

¹

¹

(5.19)

Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при t=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное p^2/2m однако вблизи точки t=0 энергия не определяется этой классической формулой.