Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
K(p
2
,t
2
;p
1
,t
1
)
(p
1
,t
1
)
d^3p1
(2h)^3
dt
1
.
(5.10)
Подставив в соотношение (5.9) значение (R1,t1) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции (R2,t2)
K(p
2
,t
2
;p
1
,t
1
)
=
=
R1
R2
e
– (i/h)p2·R2
K(R
2
,t
2
;R
1
,t
1
)
e
+(i/h)p1·R1
d^3R
1
d^3R
2
.
(5.11)
Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид
K
0
(p
2
,t
2
;p
1
,t
1
)
=
=
R1
R2
e
– (i/h)p2·R2
K
0
(R
2
,t
2
;R
1
,t
1
)
e
(ih)p1·R1
d^3R
1
d^3R
2
=
(2h)^3^3
(p
1
– p
2
)
exp
–
i|p1|^2
2hm
(t
2
– t
1
)
при
t
2
>t
1
,
0
при
t
2
<t
1
.
(5.12)
Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-iEt/h), где E=p^2/2m. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).
Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.
В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса p2 в момент времени t2. Эта траектория должна начинаться со значения импульса t1=t2 Все другие траектории не дают вклада в ядро.
Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.
Преобразование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время -> энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид
k(p
2
,E
2
;p
1
,E
1
)
=
R1
R2
–
t1
e
– (i/h)p2·R2
e
(i/h)E2t2
K(R
2
,t
2
;R
1
,t
1
)
x
x
e
(i/h)p1·R1
e
– (i/h)E1t1
d^3R
1
d^3R
2
dt
1
dt
2
.
(5.13)
Заметим, что энергия E здесь не равна p^2/2m, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины E для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.
В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным R1 и R2 были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остаётся выполнить интегрирование лишь по t1 и t2. Сделаем подстановку t2=t1+. Тогда двойной интеграл можно записать как
–
e
– (i/h)(E2– E1)t1
dt
1