Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

Ниже будет дана интерпретация выражений типа f*gdx, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию E [и, следовательно, её волновая функция ₁=exp(iE₁t/h)₁], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии E₂ [т.е. волновую функцию exp(iE₂t/h)₂] должна равняться нулю.

Задача 4.8. Покажите, что когда оператор H эрмитов, то собственное значение E вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) f=g=₁].

Задача 4.9.

Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор H эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите f=₂, g=₁].

Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней E_n, не только ортогональны, но также и нормированы т.е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям x равен единице:

^–

_*

ⁿ

(x)

_m

(x)

dx

=

_nm

,

(4.47)

где _nm — символ Кронекера, определяемый равенствами _nm=0, если n/=m, и _nn=1. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шрёдингера:

f(x)=

ⁿ⁼¹

a

_n

_n

(x).

(4.48)

Коэффициенты a_n легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряжённые функции ^*₂(x) и интегрируя по x, получаем

^–

_*

^m

f(x)

dx

=

ⁿ⁼¹

a

_n

^–

_*

^m

_n

dx

=

a

_m

(4.49)

и, следовательно,

a

_n

=

^–

_*

ⁿ

(x)f(x)

dx.

(4.50)

Таким образом мы получили тождество

f(x)

=

ⁿ⁼¹

_n

(x)

^–

_*

ⁿ

(y)f(y)

dy

^–

ⁿ⁼¹

_n

(x)

_*

ⁿ

(y)

f(y)

dy.

(4.51)

Другой

интересный способ получения того же результата исходит из определения -функции:

(x-y)=

ⁿ⁼¹

_n

(x)

_*

ⁿ

(y).

(4.52)

Ядро K можно выразить через функции _n и значения энергии E_n. Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени t₂, если она нам известна в момент времени t₁. Так как она является решением уравнения Шрёдингера, то при любом t её, как и всякое его решение, можно записать в виде

(x,t)

=

ⁿ⁼¹

c

_n

e

^{– (i/h)E_nt}

_n

(x).

(4.53)

Но в момент времени t₁

f(x)

=

(x,t

₁

)

=

ⁿ⁼¹

c

_n

e

^{– (i/h)E_nt₁}

_n

(x)

=

ⁿ⁼¹

a

_n

(x)

_n

(x)

,

(4.54)

поскольку мы всегда можем представить f(x) в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что

c

_n

=

a

_n

e

^{+(i/h)E_nt₁}

.

(4.55)

Подставив это в выражение (4.53), будем иметь

(x,t

₂

)

=

ⁿ⁼¹

c

_n

e

^{– (i/h)E_nt₂}

_n

(x)

=

ⁿ⁼¹

a

_n

exp

+

i

h

E

_n

(t

₁

– t

₂

)

_n

(x).

<