Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде =f(t)(x), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение
–
h
i
f'(t)(x)
=
Hf(t)(x)
=
f(t)H(x),
(4.39)
или
–
h
i
f'
f
=
1
H.
(4.40)
Левая
f'=
–
i
h
Ef,
или
f=
e
– iEt/h
с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
(x,t)
=
e
– (i/h)Et
(x),
(4.41)
где функция удовлетворяет уравнению
H
=
E,
(4.42)
а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией E. Каждому значению энергии E соответствует своя особая функция — частное решение уравнения (4.42).
Вероятность того, что частица находится в точке x, задаётся квадратом модуля волновой функции , т.е. ||^2. В силу равенства (4.41) эта вероятность равна ||^2 и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.
Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна E, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.
Пусть E1 — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение 1 и E2 — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению 2. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:
1
=
e
– (i/h)E1t
1
(x)
и
2
=
e
– (i/h)E2t
2
(x);
(4.43)
так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с его решением будет и c. Кроме того, если 1 и 2 — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция
=
c
1
e
– (i/h)E1t
1
(x)
+
c
2
e
– (i/h)E2t
2
(x)
(4.44)
тоже будет решением уравнения Шрёдингера.
Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии E и найдены соответствующие им функции то любое решение уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.
Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях c1 и c2. Поэтому, используя для функции выражение (4.44) получаем
*
dx
=
c
*
1
c
2
|
1
|^2
dx
+
c
*
1
c
2
exp
i
h
(E
1
– E
2
)t
*
1
2
dx
+
+
c
1
c
*
2
exp-
i
h
(E
1
– E
2
)t
1
*
2
dx
+
c
*
2
c
2
*
2
2
dx.
(4.45)
Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(i/h)(E1– E2)t] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов c1 и c2. Это означает, что
–
*
1
2
dx
=
–
1
*
2
dx
=0.
(4.46)
Если две функции f и g удовлетворяют соотношению
f*g
dx
=0,
то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.