Чтение онлайн

на главную

Жанры

Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде =f(t)(x), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение

h

i

f'(t)(x)

=

Hf(t)(x)

=

f(t)H(x),

(4.39)

или

h

i

f'

f

=

1

H.

(4.40)

Левая

часть этого уравнения не зависит от x, тогда как правая не содержит зависимости от t. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых x и t, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через E. Тогда

f'=

i

h

Ef,

или

f=

e

– iEt/h

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

(x,t)

=

e

– (i/h)Et

(x),

(4.41)

где функция удовлетворяет уравнению

H

=

E,

(4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией E. Каждому значению энергии E соответствует своя особая функция — частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке x, задаётся квадратом модуля волновой функции , т.е. ||^2. В силу равенства (4.41) эта вероятность равна ||^2 и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна E, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть E1 — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение 1 и E2 — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению 2. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:

1

=

e

– (i/h)E1t

1

(x)

 и

2

=

e

– (i/h)E2t

2

(x);

(4.43)

так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с его решением будет и c. Кроме того, если 1 и 2 — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

=

c

1

e

– (i/h)E1t

1

(x)

+

c

2

e

– (i/h)E2t

2

(x)

(4.44)

тоже будет решением уравнения Шрёдингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии E и найдены соответствующие им функции то любое решение уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях c1 и c2. Поэтому, используя для функции выражение (4.44) получаем

*

dx

=

c

*

1

c

2

|

1

|^2

dx

+

c

*

1

c

2

exp

i

h

(E

1

– E

2

)t

*

1

2

dx

+

+

c

1

c

*

2

exp-

i

h

(E

1

– E

2

)t

1

*

2

dx

+

c

*

2

c

2

*

2

2

dx.

(4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(i/h)(E1– E2)t] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов c1 и c2. Это означает, что

*

1

2

dx

=

1

*

2

dx

=0.

(4.46)

Если две функции f и g удовлетворяют соотношению

f*g

dx

=0,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.

Поделиться:
Популярные книги

Совершенный: пробуждение

Vector
1. Совершенный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Совершенный: пробуждение

Идеальный мир для Лекаря 18

Сапфир Олег
18. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 18

На границе империй. Том 10. Часть 2

INDIGO
Вселенная EVE Online
Фантастика:
космическая фантастика
5.00
рейтинг книги
На границе империй. Том 10. Часть 2

Искатель. Второй пояс

Игнатов Михаил Павлович
7. Путь
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
6.11
рейтинг книги
Искатель. Второй пояс

Мимик нового Мира 4

Северный Лис
3. Мимик!
Фантастика:
юмористическая фантастика
постапокалипсис
рпг
5.00
рейтинг книги
Мимик нового Мира 4

Сломанная кукла

Рам Янка
5. Серьёзные мальчики в форме
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Сломанная кукла

Ну, здравствуй, перестройка!

Иванов Дмитрий
4. Девяностые
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.83
рейтинг книги
Ну, здравствуй, перестройка!

Предатель. Вернуть любимую

Дали Мила
4. Измены
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Предатель. Вернуть любимую

Огненный князь 4

Машуков Тимур
4. Багряный восход
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Огненный князь 4

Ваше Сиятельство

Моури Эрли
1. Ваше Сиятельство
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Ваше Сиятельство

Вечная Война. Книга II

Винокуров Юрий
2. Вечная война.
Фантастика:
юмористическая фантастика
космическая фантастика
8.37
рейтинг книги
Вечная Война. Книга II

Черный Маг Императора 8

Герда Александр
8. Черный маг императора
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 8

Темный Патриарх Светлого Рода 6

Лисицин Евгений
6. Темный Патриарх Светлого Рода
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Патриарх Светлого Рода 6

Довлатов. Сонный лекарь 2

Голд Джон
2. Не вывожу
Фантастика:
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Довлатов. Сонный лекарь 2