Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как
F(T)
=
0
0
exp
i
h
T
0
m
2
(y^2-^2y^2)
dt
Dy(t).
(3.84)
Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от , способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени t=0 и возвращаются в эту же точку в момент t=T, функцию y(t) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2/T:
y(t)=
n
a
n
sin
nt
T
.
(3.85)
Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени t рассматривать траектории как функции от y, мы можем считать их функциями коэффициентов an. Это есть линейное преобразование, якобиан которого J является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от , m и h.
Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от (в том числе и J), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение F(T)=m/2ihT для =0 (случай свободной частицы).
Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным
T
0
y^2
dt
=
n
m
n
T
m
T
a
n
a
m
T
0
cos
nt
T
cos
mt
T
dt
=
=
T·
1
2
n
n
T
^2
a
^2
n
(3.86)
и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным
T
0
y^2
dt
=
T·
1
2
n
a
^2
n
(3.87)
Если предположить, что время T разделено на интервалы длины , как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число N коэффициентов an, то интеграл по траекториям приобретает вид
F(T)
=
J
–
–
…
–
exp
N
n=1
im
2h
n
T
^2
– ^2
a
^2
n
x
x
da1
A
da2
A
…
daN
A
.
(3.88)
Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов an. В результате такого интегрирования получим
–
exp
im
2h
n^2^2
T^2
– ^2
a
^2
n
dan
A
=
n^2^2
T^2
– ^2
– 1/2
.
(3.89)
Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению
N
n=1
n^2^2
T^2
– ^2
– 1/2
=
N
n=1
n^2^2
T^2
– 1/2
N
n=1
1-
^2T^2
n^2^2
– 1/2
.
(3.90)
Первое произведение справа не зависит от и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу [(sin T)/T]– 1/2 , когда N->, т.е. когда ->0. Поэтому
F(T)
=C