Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Периодические граничные условия. Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удаётся обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приёмом, то её конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого-нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена. Поэтому вместо физически простых условий =0 мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты eikx. Таковыми условиями являются
L
2
=
–
L
2
(4.70)
и
'
L
2
='
–
L
2
(4.71)
Их называют периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности (x) с периодом L во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции 1/Leikx являются нормированными на отрезке L решениями при условии, что k=2n/L, где n — любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль. Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше.
Что происходит в случае трёх измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными Lx, Ly, Lz. Используем периодические граничные условия, т.е. потребуем, чтобы значения волновой функции и её первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой произведение
1/L
x
e
ikxx
1/L
y
e
ikyy
1/L
z
e
ikzz
=
1
V 1/2
e
ik·r
,
(4.72)
где V=LxLyLz — объём ящика, и допустимыми значениями будут kx=2nx/Lx, ky=2ny/Ly и kz=2nz/Lz (nx, ny, nz — целые числа). Кроме того, число решений со значениями kx, ky, kz, лежащими соответственно в интервалах dkx, dky, dkz, равно произведению
dkx
2
L
x
dky
2
L
y
dkz
2
L
z
=
d^3k
(2)^3
V.
(4.73)
Другими словами, мы использовали плоские волны, нормированные в объёме V. Число состояний в объёме d^3k (дифференциальном объёме k-пространства) равно Vd^3k/(2)^3.
Применим это к задаче 4.11 и вспомним установленную в § 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом p=hk. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были exp[(ip·r)/h], в то время как теперь мы должны использовать 1/Vexp[(ip·r)/h], нужно ввести добавочный множитель 1/V. [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы
p
надо заменить на интеграл Vd^3p/(2h)^3. Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.
Следует отметить, что множители V сокращаются, как это и должно быть, так как при V-> ядро K не должно зависеть от размера ящика.
Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объём V сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.
Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т.е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом.
Наряду с этим математически строгое решение может быть нестрогим с физической точки зрения; иначе говоря, возможно, что ящик существует на самом деле. Им может быть не обязательно прямоугольный ящик, ведь не часто оказывается, что эксперименты ставят под звёздами; чаще их проводят в комнате. Хотя физически представляется вполне разумным, что стенки не должны влиять на опыт, тем не менее такую постановку задачи надо рассматривать как идеализацию. Удаление стенок на бесконечность ничем не лучше, чем замена их достаточно далёкими идеальными зеркалами. В первом случае математическая строгость также нарушается, поскольку реальные стенки находятся не на бесконечности.
Подход с привлечением удалённых стенок справедлив и строг настолько же, насколько оправдан. Он обладает несколькими преимуществами. Например, когда объём в заключительных формулах сокращается, мы видим, что несуществен по крайней мере один из аспектов идеализации — насколько стенки удалены. Этот результат интуитивно ещё более убеждает нас в том, что истинное расположение реальной окружающей обстановки может быть несущественным. Наконец, полученная формула очень полезна, когда мы действительно имеем случай конечных размеров. Например, в гл. 8 мы воспользуемся ею, чтобы подсчитать число различных звуковых волн в большом блоке вещества прямоугольной формы.
С другой стороны, преимуществом математически строгого подхода является упразднение в сущности ненужной детали, которая не входит в результат. Хотя введение стенок позволяет кое-что узнать о том, почему же они все-таки ни на что не влияют, тем не менее можно убедиться в справедливости этого, не вникая при этом в детали.
Задача о нормировке волновых функций представляет собой довольно частный пример, но он иллюстрирует главное. Физик не может понять осторожности, проявляемой математиком при решении идеализированной физической задачи. Он знает, что реальная задача намного сложнее. Она уже упрощена с помощью интуиции, которая отбрасывает несущественное и аппроксимирует то, что остаётся.
Глава 5
ИЗМЕРЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ
До сих пор мы описывали квантовомеханические системы таким образом, как если бы собирались измерять лишь пространственные координаты и время. Все измерения в квантовомеханических системах можно действительно свести в сущности лишь к определению положений и моментов времени (например, к определению положения стрелки измерительного прибора или времени пролёта частицы). Поэтому теория, сформулированная на основе понятий, соответствующих пространственно-временным измерениям, будет в принципе достаточно полной для того, чтобы описывать все явления. Тем не менее имеет смысл попытаться непосредственно выяснить вопрос, касающийся, скажем, измерения импульса, не требуя при этом, чтобы окончательное показание прибора сводилось к измерению положений, и не рассматривая в деталях, какие именно части прибора измеряют импульс. Поэтому в данной главе мы не будем концентрировать наше внимание на амплитуде вероятности измерения пространственных координат, а вместо этого рассмотрим амплитуду вероятности найти определённое значение импульса, энергии или какой-либо другой физической величины.