Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
График этой вероятности (как функции от x) представляет собой сложную кривую, которую в общих чертах передаёт фиг. 1.2, а. Эта кривая имеет несколько максимумов и минимумов, причём вблизи центра экрана существуют участки, куда электроны почти никогда не попадают. Объяснить, почему эта кривая имеет такой вид, и является задачей физики.
Мы могли бы сначала предположить (поскольку электроны ведут себя как частицы), что:
а) каждый электрон, летящий из источника S в точку x, должен проходить либо через отверстие 1, либо через отверстие 2; исходя из этого предположения, мы ожидали бы, что
б) вероятность P попадания в точку x является суммой двух слагаемых: вероятности P1 попасть в эту точку через отверстие 1 и вероятности P2 попасть в эту же точку через отверстие 2.
Так ли это, можно выяснить непосредственно на опыте. Каждая из слагаемых вероятностей легко определяется: просто закроем отверстие 2 и подсчитаем число попаданий в точку x, когда открыто только лишь отверстие 1. Это даст нам вероятность P1 попадания в точку x электронов, пролетевших через отверстие 1. Результат изображается кривой b на фиг. 1.2. Аналогично, закрывая отверстие 1, найдём вероятность P2 попадания в точку x через отверстие 2 (кривая с на фиг. 1.2).
Сумма этих вероятностей (кривая d), очевидно, не совпадает с кривой a. Следовательно, эксперимент ясно говорит нам о том, что P/=P1+P2, или что утверждение б) ошибочно.
Фиг. 1.3. Аналогичный эксперимент с интерференцией волн.
Сложная кривая a на фиг. 1.2. совпадает с распределением интенсивности I(x) волн, которые, выйдя из источника S и пройдя через оба отверстия, достигли бы точки x. В некоторых точках x часть волн в результате интерференции взаимопогашается (например, гребень волны, вышедшей из отверстия 1, приходит в точку x в тот же самый момент, что и впадина волны из отверстия 2 ); в других же точках интерференция усиливает волны. В целом на кривой интенсивности I(x) возникают сложные максимумы и минимумы.
Амплитуда вероятности. Вероятность попадания электрона в точку x, если открыты оба отверстия, не равна сумме вероятностей попадания, когда открыты только первое или только второе отверстие. В действительности кривая P(x) нам хорошо знакома, поскольку она точно совпадает с распределением интенсивности при интерференции волн, которые, распространяясь от источника S, проходят через оба отверстия и падают на экран C (фиг. 1.3). Амплитуды волн удобнее всего изображать комплексными числами. Заметив это, мы можем сформулировать правило для определения P(x) в строгой математической форме: P(x) представляет собой квадрат модуля некоторой комплексной величины (x), которую мы назовём амплитудой вероятности попасть в точку x (если учитывается спин электрона, то это гиперкомплексная величина). Далее, (x) равна сумме двух вкладов: амплитуды 1 попадания в точку x через отверстие 1 и амплитуды 2 попадания в ту же точку через отверстие 2. Другими словами,
в) существуют комплексные числа 1 и 2, такие, что
P=|^2|,
(1.1)
=
1
+
2
(1.2)
и
P
1
=|
1
|^2, P
2
=|
2
|^2
(1.3)
В последующих главах мы подробно рассмотрим конкретное вычисление 1 и 2. Сейчас же мы только укажем, что, например, амплитуду 1 можно найти как решение волнового уравнения, описывающего распространение волн от источника S до точки 1 и из точки 1 в точку x. В этом находят своё отражение волновые свойства электронов (или фотонов в случае света).
Подведём итог: мы вычисляем интенсивность (т.е. квадрат модуля амплитуды) волн, которые достигли бы прибора, расположенного в точке x, а затем интерпретируем эту интенсивность как вероятность того, что частица попадёт в точку x.
Логические затруднения. Характерно, что такое смешение понятий волны и частицы не ведёт к противоречиям. Однако так будет лишь при условии, что все утверждения относительно экспериментальной ситуации делаются с большой осторожностью.
Чтобы обсудить этот вопрос более подробно, рассмотрим сначала ситуацию, которая возникает из-за того, что в общем случае равенство P=P1+P2 несправедливо, как это подразумевает наше новое правило сложения вероятностей. Мы вынуждены признать: когда открыты оба отверстия, неправильно считать, что частица проходит только через одно или другое отверстие. В противном случае мы могли бы разбить все попадания частицы в точку x на два различных класса: попадания через отверстие 1 и попадания через отверстие 2 но тогда частота попаданий P в точку x неизбежно была бы суммой P1 (частоты попаданий через отверстие 1) и P2 (частоты попаданий через отверстие 2).
Чтобы избавить себя от логических затруднений, которые вносит этот пугающий вывод, можно было бы прибегнуть к разным ухищрениям. Мы могли бы предположить, например, что электрон движется каким-то весьма запутанным образом по некоей сложной траектории, проходя через отверстие 1, возвращаясь потом назад через отверстие 2 и выходя снова через отверстие 1. Или, может быть, электрон как-то размазывается и проходит через оба отверстия по частям так, чтобы в конечном итоге получился интерференционный результат в). Возможно также, что вероятность P1, была найдена неточно вследствие того, что закрытие отверстия 2 могло бы повлиять на движение вблизи отверстия 1. Чтобы объяснить полученную картину, предлагалось много подобных классических механизмов. Однако если поставить такой же опыт с фотонами (а результат при этом будет тот же), то две интерферирующие траектории можно расположить на расстоянии многих сантиметров друг от друга, так что движения по ним почти наверняка должны быть независимы. Реальная ситуация намного сложнее, чем это можно было бы предположить вначале; это показывает следующий эксперимент.
Влияние наблюдения. Мы сделали вполне логичный вывод: поскольку P/=P1+P2, никак нельзя предполагать, что электрон проходит либо только через первое отверстие, либо только через второе. Однако легко придумать опыт для прямой проверки нашего вывода. Просто мы должны поместить за отверстиями источник света и проследить, через какое отверстие пройдёт электрон (фиг. 1.4). Поскольку электроны рассеивают свет и если рассеяние происходит позади отверстия 1, то можно сделать вывод, что электрон прошёл именно через это отверстие; если же свет рассеивается за отверстием 2, то электрон прошёл через него.
Фиг. 1.4. Видоизменение эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.
За экраном B мы помещаем осветитель L и наблюдаем рассеяние света на электронах, проходящих через отверстие 1 или через отверстие 2. При сильном источнике света действительно оказывается, что каждый электрон проходит только через одно из двух отверстий. Однако вероятность попадания в точку x при этом не описывается кривой a на фиг. 1.2, а имеет вид кривой d.