Логика и рост научного знания, Поппер Карл Раймунд

Логика и рост научного знания

на обложку

Поппер Карл Раймунд

Шрифт:

ностью или ошибочностью математических суждений, До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте-

другие — главным образом доказательствами: вопроса-

мологию, исходя из предположения прежде всего, что

ми существования доказательств той или иной теоремы

она проистекает из попытки решить трудности филосо-

и спецификой таких доказательств. Если преобладаю-

фии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что

щим является первый подход (как это имеет место,

содержится в названии данного раздела, — к оценке и

например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с

критике брауэровской эпистемологии.

интересом в открытии математических «фактов» и по-

Исходя из положений настоящего доклада, можно

этому с платонизированной математической эвристикой.

утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, Если же преобладающим выступает второй подход, тог-

по моему мнению, является его понимание того, что

да доказательства являются не просто средствами фор-

математика и, как я могу добавить, весь третий мир

мирования уверенности в теоремах о математических

созданы человеком.

объектах, а самостоятельными математическими объ-

Эта идея является настолько радикально антиплато-

ектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ-

новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности

ром: те построения, которые были доказательствами, не

ее связи с некоторой формой платонизма, под которой

только создавали и утверждали математические объек-

я имею в виду концепцию частичной автономииматема-

ты, они были в то же время сами математическими

тики и третьего мира в том виде, как она описана вы-

– объектами, возможно даже наиболее важными такими

ше, в разд. 3.

объектами. Таким образом, утверждать некоторую тео-

Другим великим достижением Брауэра в философ-

рему означало утверждать существование некоторого

ском плане был его антиформализм — признание им

доказательства для нее и отрицать ее означало утверж-

того, что математические объекты должны существо-

.вать до того, как мы можем говорить о них.

Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэров-

20 См. конец третьег о параграф а работы Брауэр а [5]. Он пишет

ского решения трех групп главных проблем философии

там о существовании не математики, а «математической точности», математики, сформулированных ранее в данном раз-

и, как видно, этот отрывок относится к проблемам (1) и (3) даже

– больше, чем к онтологической проблеме (2). Однако не может быть

деле.

никакого сомнения в том, что он имеет определенное отношение к

(Г) Эпистемологические

проблемы:интуиция в це-

проблеме (2). В данном отрывке Брауэр пишет так: «На вопрос, где

лом и теория времени в частности.

существует математическая точность, отвечают -разпому... Ин-

Я не предлагаю заменить название «интуиционизм».

туиционист говорит: «В человеческом интеллекте», формалист гово-

рит: «На бумаге»».

Это название, без сомнения, сохранится, но нам важна

473

отказаться от ошибочной философии интуиции как не-

стиц отличается от роли времени в физике твердого

погрешимого источника знания.

тела, особенно в оптике. В то время как физика эле-

Не существует авторитетных источников знания, н

ментарных частиц утверждает о существовании лезвие-

ни один «источник» не является абсолютно надеж-

подобного непротяженного мгновения, «pimctum tem-

ным21. Все приветствуется как источник вдохновения, poris», которое отделяет прошлое от будущего, и тем, стимулирования, включая «интуицию», особенно если

самым существование временной координаты, образо-

она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не

ванной из (континуума) непротяженных мгновений, а в

является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.

конечном итоге мира, «состояние» которого может быть

К тому же следует подчеркнуть, что кантовское чет-

задано для любого такого непротяженного мгновения, кое различение между интуицией и дискурсивным мыш-

ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому

лением не может быть нами принято. «Интуиция», ка-

как существуют пространственно протяженные растры

кой бы она ни была, в значительной степени является

в оптике, чьи части взаимодействуют на значительном-