Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
Шрифт:
Существуют две версии того, как Фалес сотворил чудо. Простейшая утверждает, что Фалес измерил тень пирамиды, когда его собственная тень сравнялась с ним по росту.
Все, кто хоть чуть-чуть помнит курс школьной геометрии, поймет, как он получил ответ.
Вторая версия почти повторяет первую. Она напрямую связана с основным выводом одной из самых полезных теорем геометрии. Напомним ее: треугольники ABC, PQR таковы, что внутренние углы А, В, С соответственно равны внутренним углам P, Q, R. АВ – сторона между вершинами А и В. Это означает, что ей соответствует определенное число, определяющее длину стороны, что справедливо и для всех остальных сторон треугольников. Теорема утверждает, что соотношения
равны.
Фалесу
Открытие Пифагором единственного образца соответствующих чисел стало главным поворотным моментом не столько для математики, сколько для эволюции метафизики. Мы еще отметим это влияние на оба направления, сейчас же мы рассмотрим предполагаемое доказательство Фалеса, и это больше чем простой интерес. Доказательство, устраивающее величайшего математика одного поколения, легко оказывается вызывающе ошибочным или неполным для школьника более поздней формации. В наши дни прилежный ученик средней школы может определить скользкие места в любом доказательстве из тех, что принадлежали Фалесу. И не потому, что он как математик много сильнее, чем Фалес, а потому, что наиболее талантливые математики в истории за три века, последовавшие за эпохой Фалеса, придерживались абстрактного мышления и дедуктивного метода, открытого им.
Вторая позиция, представляющая интерес, дезавуирует ранее сказанное. Уже упоминались в связи с дедуктивным методом доказательство, о котором древние египтяне, вполне возможно, догадывались, и сомнительная очевидность этого факта, базирующегося на свидетельских показаниях одного человека. Человек, о котором пойдет речь, – это Демокрит, живший в 460–362 годах до н. э., ярый поборник атомистической теории. Демокрит, по прозвищу «смеющийся философ», начал жизнь весьма обеспеченным человеком, видел мир во всем его многообразии, вконец промотался и умер, смеясь, в возрасте почти ста лет, а некоторые говорят, что буквально в канун своего столетия. Как свидетельствуют следующие эпизоды из его автобиографии, «смеющийся философ» не отличался скромностью.
«Я странствовал по земле больше любого другого своего современника, – начинает он, – с целью изучения наиболее трудных вопросов. Я изучил много климатов и много разных земель, и я выслушал бесчисленное множество мудрых людей. Но до сих пор, – продолжает он, распаляя себя, – никто не превзошел меня в построении линий, в построении с наглядным доказательством. Даже египетские изготовители канатов, с которыми я прожил целых пять лет».
Что касается «доказательства», то Демокрит либо знал больше о египетской математике или он продемонстрировал сардонический выпад в сторону своего уважаемого соотечественника Фалеса. Если египтяне что-то действительно доказывали в своей эмпирической геометрии, скорее уж Фалес услышал от них о доказательстве, чем они, узнав о его изобретении, тотчас начали применять его на практике. В VI веке до н. э. египтяне не были, насколько это известно, знамениты своей любовью к абстракции, и кажется маловероятным, будто они ухватились за эту идею. Если же Демокрит не занимался саркастической мистификацией, то, вполне возможно, страдал провалами в памяти в старости. Как бы то ни было, Фалес продолжает неколебимо красоваться у основания западной мысли как в математике, так и в философии. И это несмотря на его спорное утверждение: «Всё полно богов».
Глава 8
Один или много?
За Фалесом следует Анаксимандр, возможно его ученик, живший в 610–546 годах до н. э. Являясь важным связующим звеном в длинной цепочке математиков-философов с VI века до н. э. и до наших дней, Анаксимандр требует пристального внимания с нашей стороны из-за своей концепции бесконечности. Видение настоящего в прошлом необходимо для понимания наводящих на результат мыслей о математической бесконечности в его «транскрипции». И все же эта трудная для понимания концепция, согласно разъяснениям древних комментаторов, имеет ряд характеристик, которые и ныне приписывают бесконечности. Определенно с нее начались западные умствования по поводу возможной безграничности, бесконечности мироздания.
Следует, однако, заметить, что «неограниченный» не значит бесконечный. Поверхность сферы, например, конечна по сути, хотя и не ограничена. И в одной из моделей пространство-время физической вселенной, предлагаемой теорией относительности, вселенная безгранична, но конечна.
Лишь несколько деталей из жизни Анаксимандра дошли до нашего времени. Цицерон говорит о нем как о друге и помощнике Фалеса. Так или иначе он был сведущ в геометрии Фалеса и его философии и передал их со своими дополнениями Пифагору. Он был одним из первых, если не самым первым из греков, вверивших свою науку и математику письменным записям. Его труды известны нам благодаря отрывочным упоминаниям древних историков и философов, которые, как водится, зачастую противоречат один другому. Анаксимандр отличался от остальных и тем, что стал первым в истории ученым, выступавшим с публичными лекциями по философии. Какое-то время он, возможно, даже возглавлял школу для мальчиков. Один дошедший до наших дней рассказ характеризует его как добросовестного педагога. «Ради мальчиков я должен постараться декламировать лучше», – заявил он, когда стал объектом подшучивания за свою привычку произносить нараспев преподаваемый материал.
Почитатели Анаксимандра хотели, чтобы он во всем превзошел своего учителя. Фалес предсказал затмение, Анаксимандр предсказал землетрясение – подвиг, который сейсмологи XX века еще должны повторить. Фалес сказал: «Всё есть вода». Анаксимандр обошел его, заявив, что всё для него есть вода и грязь. В связи с этим отметим, что Анаксимандр заложил основы новой процветающей традиции среди учеников философов – противоречить своему учителю. Фалес даже не пытался объяснить, как мир стал таким, каков он есть. Анаксимандр подарил научному миру первую всеобъемлющую теорию эволюции. Естественно, это была не слишком убедительная теория, но она стала шагом в направлении натурализма от супер-натурализма в объяснении природных явлений. Не станем останавливаться на деталях, поскольку Эмпедокл предложил более интересное объяснение происхождения всего живого на земле, о чем поговорим позднее.
Среди своих «впервые» и «первым» Анаксимандр нарисовал самую раннюю карту мира, как ее представляли в те времена. Карты отдельных областей у египтян и вавилонян вполне могли подтолкнуть Анаксимандра выделить береговую полосу в мировом масштабе. Пока его предшественники зацикливались на частностях, он рассуждал глобально. Если бы только Пифагор не увлекся нумерологией, греческая наука могла бы развиваться на подававшем надежды основании куда как быстрее, чем оказалось в реальности, и, вполне вероятно, она бы уже тогда совершила то, что было открыто позже. Другим «впервые» Анаксимандра стало известное формальное описание в геометрии. Оно не могло быть исчерпывающим, но, если бы несколько теорем были поданы им в логической последовательности, это стало бы эпохальной работой.
В астрономии он использовал гномон (плотничий угольник) – трехмерную систему координат для определения меридиана и точек солнцестояния. Он создал теорию небесных тел, которая, подвергшись модификации, прошла через космологию пифагорейцев, затем попала к Платону и некоторым из его малограмотных последователей и наконец обрела вечный покой в одной из своих ипостасей: неработающей теории небесных вихрей, предложенной Декартом (жившим в 1596–1650 годах) для объяснения движения планет. Небесные тела, считал Анаксимандр, были шарами из огня и воздуха, и каждый из них нес живую частицу божества. В некоторой степени это и был бог. Планеты Декарта, не будучи сами по себе богами, были втянуты в движение богом, который при создании придавал движение всему. В ритмичном круговом движении планетарных божеств Анаксимандра ощущаются, хотя и крайне нечетко, практически все ноты той «музыки сфер», которую впервые заметили и гармонизировали в астрономии Пифагора.
Анаксимандр также поместил Землю в то место, которое она сохраняла за собой в течение двух тысяч лет (до 1543 года), пока Коперник (живший в 1473–1543 годах) не сместил ее из центра Вселенной. Однако это, возможно, и не совсем его достижение. С беспрецедентной смелостью Анаксимандр решил измерить размер Солнца. И хотя его инструментарий и информационное обеспечение не соответствовали уровню поставленной задачи, а его выводы оказались страшно ошибочны, он заслужил полное одобрение научной среды за свой интерес к существующей материи. Вполне может оказаться справедливым, как заметил великий ученый XVII века, что «книга природы есть послание, изложенное математическими символами», но оно предполагает больше чем просто знание математики, чтобы понять написанное. Уже в древние времена «Бесконечность» Анаксимандра стала предметом безрезультатных споров. Плутарх, соглашаясь с Аристотелем, сказал, что это просто термин. Сам же Анаксимандр заслуживает уважения за то, что описал бесконечность как долговременно неизменную в целом, но изменяемую в деталях, неисчерпаемую прародительницу всего сущего и способную обессмертить все, к чему ни прикоснется. Отсюда следует неотразимо притягательный вывод: в непрерывном расширении бесконечности эволюция может быть многократной, возможно даже бесконечной, не оставляющей «следов» всех погибших цивилизаций и исчезнувших рас, которые когда-либо существовали. Очень может быть, что эта поэтическая шутка воображения престарелого Анаксимандра вдохновила пифагорейцев, а после них – и Платона на их мечты о вечном повторении. Другой возможный источник кошмарного умопомрачения бесконечностью мы назовем в связи с Пифагором.