Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании
Шрифт:
Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает ряд методов и средств их реализации. Основными методами решения являются следующие:
• обращением матрицы коэффициентов уравнений и решением вида Х=А– 1*В;
• применением метода LU-декомпозиции (method='LU');
• применением метода QR-декомпозиции (method='QР');
• применением метода декомпозиция Холесского (method='Cholesky');
• метод обратной подстановки (method='subs').
Решение с применением обращения матрицы коэффициентов левой части системы уравнений А уже не раз рассматривалось и вполне очевидно. В связи с этим отметим особенности решения систем линейных уравнений
6.3.4. Решение системы линейных уравнений методом LU-декомпозиции
Зададим матрицу А левой части системы уравнений и вектор свободных членов В:
Прямое решение этим методом выполняется одной из двух команд, отличающихся формой записи:
Проверим решение данной системы уравнений:
В данном случае решение точно (в пределах точности вычислений по умолчанию).
Можно также выполнить решение проведя отдельно LU-декомпозицию, что делает наглядным алгоритм решения и операции подстановки:
6.3.5. Решение системы линейных уравнений методом QR-декомпозиции
Выполним теперь решение для тех же исходных данных методом QR-декомпозиции, обозначив метод в функции LinearSolve:
Другой, более явный, но и более громоздкий метод решения представлен ниже:
Тут,
6.3.6. Решение системы линейных уравнений методом декомпозиции Холесски
Выполним решение еще и методом декомпозиции Холесски:
Приведем еще один пример решения системы из четырех линейных уравнений с применением метода декомпозиции Холесски:
6.3.7. Одновременное решение нескольких систем уравнений
Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы: