Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

15z1+5z2, {1 ≤ 3z1+2z2, -1 ≤ 6z1+3z2}

Функция feasible может быть задана в трех формах:

feasible(С)

feasible(С,vartype)

feasible(С,vartype,'NewC','Transform')

Здесь параметр vartype может иметь значения NONNEGATIVE или UNRESTRICTED. Эта функция определяет систему как осуществимую или нет:

> feasible({2*х+3*y<=5, 3*х+6*y<=15), NONNEGATIVE);

true

> feasible({2*х+3*y<=5, 3*х+6*y<=-15}, NONNEGATIVE);

false

Если

функция возвращает логическое значение true, то заданная система осуществима, а если false — неосуществима, то есть ни при каких значениях переменных не способна удовлетворить записанным неравенствам и равенствам.

Функция pivot(C, х, eqn) конструирует новую систему с заданным главным элементом:

> pivot({_SL1=5-4*x-3*y,_SL2=4-3*x-4*y),х,[_SL1=5-4*x-3*y]);

Функция pivoteqn(C, var) возвращает подсистему для заданного диагонального элемента С:

> pivoteqn((_SL1 = 5-3*х-2*y, _SL2 = 4-2*х-2*y}, х);

[_SL1 = 5 - 3х - 2y]

Функция pivotvar(f, List) или pivotvar(f) возвращает список переменных, имеющих положительные коэффициенты в выражении для целевой функции:

> pivotvar(x1-2*x2+3*x3-x4);

x1

> pivotvar(x1+2*х3-3*х4, [x4,x3,x1]);

x3

Функция ratio(C, х) возвращает список отношений, задающих наиболее жесткие ограничения:

> ratio([SL1=10-3*x-2*y, SL2=8-2*x-4*y], x);

Функция setup может иметь три формы:

setup(С)

setup(С, NONNEGATIVE)

setup(С, NONNEGATIVE, 't')

Она обеспечивает конструирование множества уравнений с переменными в левой части:

> setup({2*х+3*y<=5,3*х+5*y=15));

Последняя функция — standartize(C) — конвертирует список уравнений (неравенств) в неравенства типа «меньше или равно»:

> standardize({2*х+3*у<=5,3*х+5*у=15});

{2 х + 3 y ≤ 5, 3х + 5у ≤ 15, -3х -5y ≤– 15}

6.6. Новый пакет оптимизации Optimization в Maple 9.5

В систему Maple 9.5 был добавлен новый пакет оптимизации Optimization, основанный на новейших существенно улучшенных алгоритмах оптимизации. С его помощью можно решать не только задачи линейного, но и квадратичного и нелинейного программирований с повышенной степенью визуализации.

6.6.1. Доступ к пакету Optimization и его назначение

Пакет оптимизации Optimization вызывается как обычно:

> with(Optimization);

[ImportМPS, Interactive, LPSolve, LSSolve, Maximize, Minimize, NLPSolve, QPSolve]

Warning, the name changecoords has been redefined

Для получения справки по пакету надо исполнить команду:

> help(Optimization);

Пакет использует при вычислениях алгоритмы группы NAG, которые считаются наиболее эффективными при реализации численных методов вычислений, в частности реализующих алгоритмы оптимизации. Пакет вводит 8 функций. Две из них это переопределенные функции вычисления максимума Maximize и минимума Minimize. Кроме того, пакет имеет 4 решателя уравнений с заданными ограничениями, реализующих следующие методы:

• LPSolve — линейное программирование;

• LSSolve — улучшенная реализация метода наименьших квадратов;

• QPSolve — квадратичное программирование;

• NLPSolve — нелинейное программирование.

Функция ImportMPC обеспечивает ввод данных для оптимизации из файла, а функций Interactive позволяет работать с интерактивным Maplet-окном для оптимизации.

С пакетом Optimization можно познакомиться по его справке. В ее разделе Examples есть довольно обширный документ с примерами применения пакета — дополнительными к тем, которые даются к функциям пакета в справке. Начало этого документа представлено на рис. 6.3. В нем представлены основные задачи, решаемые пакетом Optimization — линейное, квадратичное и нелинейное программирование, а также приближение данных и функциональных зависимостей методом наименьших квадратов (нелинейная регрессия).

Рис. 6.3. Начало документа с примерами применения пакета Optimization

6.6.2. Работа с функциями Minimize и Maximize

Функции Minimize и Maximize служат для поиска минимумов и максимумов математических выражений с учетом ограничений самыми современными численными методами. Функции записываются в виде:

Minimize(obj [, constr, bd, opts])

Minimize(opfobj [, ineqcon, eqcon, opfbd, opts])

Maximize(obj [, constr, bd, opts])

Maximize(opfobj [, ineqcon, eqcon, opfbd, opts])

Параметры функций следующие:

• obj — алгебраический объект, целевая функция;

• constr — список с ограничивающими условиями;

• bd — последовательность вида name=range, задающая границы для одной или более переменных;

• opts — равенство или равенства вида option=value, где option одна из опции feasibilitytolerance, infinitebound, initialpoint, iterationlimit или optimalitytolerance, специфицированных в команде Minimize или Maximize.

• opfobj — процедура, целевая функция;

• ineqcon — множество или список процедур с ограничениями типа неравенств;

• eqcon — множество или список процедур с ограничениями типа равенств;

• opfbd — последовательность пределов; границы для всех переменных; Примеры применения этих функций представлены ниже:

> Maximize(sin(х)/х);

[1., [х=2.93847411867272567 10^{– 11}]]

> Minimize(х^2+у^2);

[0., [х=0., у=0.]]