Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

readlib(f, file1, file2, ...)

С помощью специального оператора makehelp можно задать стандартное справочное описание новых процедур:

makehelp(n,f,b)

где n — название темы, f — имя текстового файла, содержащего текст справки (файл готовится как документ Maple) и b — имя библиотеки. Системная переменная libname хранит имя директории библиотечных файлов. Для регистрации созданной справки надо исполнить команду вида

libname:=libname, `/mylib`;

С деталями применения этих операторов можно ознакомиться в справочной системе.

К

созданию своих библиотечных процедур надо относиться достаточно осторожно. Их применение лишает ваши Maple-программы совместимости со стандартной версий Maple. Если вы используете одну-две процедуры, проще поместить их в те документы, в которых они действительно нужны. Иначе вы будете вынуждены к каждой своей программе прикладывать еще и библиотеку процедур. Она нередко оказывается большей по размеру, чем файл самого документа. Не всегда практично прицеплять маленький файл документа к большой библиотеке, большинство процедур которой, скорее всего, для данного документа попросту не нужны.

Особенно рискованно изменять стандартную библиотеку Maple 9.5/10. Впрочем, идти на это или нет — дело каждого пользователя. Разумеется, если вы готовы создать серьезную библиотеку своих процедур, то ее надо записать, тщательно хранить и подробно документировать.

10.6. Программирование символьных операций

10.6.1. Реализация итераций Ньютона в символьном виде

Найти достаточно простую и наглядную задачу, решение которой отсутствует в системе Maple 9.5/10, не очень просто. Поэтому для демонстрации решения задачи с применением аналитических методов воспользуемся примером, ставшим классическим — реализуем итерационный метод Ньютона при решении нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Как известно, метод Ньютона сводится к итерационным вычислениям по следующей формуле (файл р9):

x_i+1 = x_i +f(x_i)/f'(x_i).

Реализующая его процедура выглядит довольно просто:

> restart:

NI:=proc(expr, х) local iter;

iter:=x-expr/diff(expr,х);

unapply(iter,x)

end;

NI := proc(expr, x) local iter, iter:= x - expr/diff(expr, x); unapply(iter, x) end proc

Для получения итерационной формулы в аналитическом виде здесь используется функция unapply. Теперь, если задать решаемое уравнение, то можно получить искомое аналитическое выражение:

> expr:=sin(х)^2-0.5;

expr := sin(x)² - .5

> F:=NI(expr,x);

Далее, задав начальное приближение для х в виде х=х₀, можно получить результаты вычислений для ряда итераций:

> х0:=0.2;

х0:= .2

> to 8 do

х0:=F(х0);od;

х0:= 1.382611210

х0:= .117460944

х0:= 2.206529505

х0:= 2.360830634

х0:= 2.356194357

х0:= 2.356194490

х0:= 2.356194490

х0:= 2.356194490

Нетрудно заметить, что, испытав скачок в начале решения, значения х довольно быстро сходятся к конечному результату, дающему корень заданной функции. Последние три итерации дают одно и то же значение х. Заметим, что этот метод дает только одно решение, даже если корней несколько. Вычислить другие корни в таком случае можно, изменив начальное условие.

Можно попробовать с помощью полученной процедуры получить решение и для другой функции:

> expr:=ln(х^2)-0.5;

expr: = ln(x² ) - .5

> F:=NI(expr, х);

F:=x→x-½(ln(x²) - .5)х

>> х0:=0.2;

х0:= 2

> to 8 do x0:=F(x0);od;

x0:= .55718875825

x0:= 1.034437603

x0:= 1.258023119

x0:= 1.283760340

x0:= 1.284025389

x0:= 1.284025417

x0:= 1.284025416

x0:= 1.284025417

Здесь итерационная формула имеет (и вполне естественно) уже другой вид, но сходимость к корню также обеспечивается за несколько итерации.

Возможна и иная форма задания итерационной процедуры с применением оператора дифференцирования D и заданием исходной функции также в виде процедуры (файл р9):

> MI:=proc(f::procedure)

> (х->х)-eval(f)/D(eval(f));

> end;

MI := proc(f::procedure) (x→x) -eval(f)/D(eval(f)) end proc

> g:=x->x-cos(x);

g := x→x - cos(x)

> SI:=MI(g);

> x0:=0.1;

x0:=.1

> to 6 do x0:=SI(x0) od;

x0:= .9137633858

x0:= .7446642419

x0:= .7390919660

x0:= .7390851333

x0:= .7390851332

x0:= .7390851332

Вообще говоря, в программных процедурах можно использовать любые операторы и функции, присущие Maple-языку, в том числе и те, которые реализуют символьные вычисления. Это открывает широкий простор для разработки новых процедур и функций, обеспечивающих выполнение символьных операций.