Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
В главе 31 уже говорилось о занимательных задачах, возникающих при одном лишь складывании листа бумаги без разрезания. Еще более интересные и поистине неисчерпаемые возможности по-новому, иногда с довольно неожиданной точки зрения взглянуть на давно знакомые теоремы планиметрии открываются перед нами, когда в игру вступают ножницы.
Рассмотрим, например, хорошо известную теорему о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна развернутому углу (то есть составляет 180°). Вырежем из листа бумаги треугольник, поставим рядом с каждой его вершиной жирную точку и обрежем все его углы. Сложив помеченные точкой уголки вместе, вы убедитесь, что три внутренних угла треугольника действительно образуют развернутый угол (рис. 193,а).
Рис. 193
Попробуем проделать такую же операцию с внутренними углами любого (в том числе и не выпуклого, как на рис. 193,б) четырехугольника. Четыре отрезанных угла в сумме всегда дают полный угол (360°). Продолжив стороны любого выпуклого многоугольника за вершины так, как показано на рис. 193, в, мы получим так называемые внешние углы (на рисунке они отмечены точками). Независимо от того, сколько сторон в многоугольнике, вырезав и приложив друг к другу его внешние углы, мы всегда получим угол в 360°.
Если одна или несколько сторон многоугольника пересекаются, мы получаем то, что иногда принято называть самопересекающимся многоугольником. Хорошо известным примером таких многоугольников может служить пятиугольная звезда, или пентаграмма, — символ братства пифагорейцев. Начертите звезду сколь угодно неправильной формы (если хотите, можно нарисовать даже одну из вырожденных звезд, изображенных на рис. 194, у которых одна или две вершины расположены внутри тела звезды), отметьте точками углы при вершинах, вырежьте звезду и отрежьте все помеченные углы, приложив их один к другому.
Рис. 194 Заставив спичку скользить вдоль сторон этих звезд, мы убедимся в том, что сумма углов, отмеченных точками, равна 180°.
Вы с удивлением обнаружите, что углы при вершинах любой звезды, так же как и внутренние углы треугольника, в сумме всегда составляют развернутый угол. Справедливость этой теоремы подтверждается и другим, не менее причудливым эмпирическим методом, который можно было бы назвать методом скользящей спички. Начертив большую звезду, положим на одну из ее сторон спичку (как следует класть спичку, показано на рис. 194). Будем сдвигать спичку вдоль стороны до тех пор, пока ее головка не совпадет с вершиной звезды, а затем повернем спичку влево так, чтобы она расположилась вдоль другой стороны нашей звезды. Ориентация спички на плоскости изменилась по сравнению с первоначальной на угол, равный углу при вершине звезды. Сдвинем теперь спичку вдоль новой стороны до следующей вершины и проделаем там то же самое. Так будем продолжать до тех пор, пока спичка не вернется в исходное положение. При этом она, описав по часовой стрелке угол в 180°, окажется перевернутой: ее головка будет направлена не вверх, а вниз. Угол, описанный спичкой, очевидно, равен сумме углов при пяти вершинах пятиугольной звезды.
Методом скользящей спички можно воспользоваться как для подтверждения правильности всех упоминавшихся выше теорем, так и для отыскания новых. Он служит удобным способом измерения углов любых многоугольников, в том числе и звездчатых, и многоугольников с любыми самыми сложными самопересечениями. Так как спичка при возвращении в исходное положение имеет направление, либо совпадающее с первоначальным, либо противоположное ему, сумма описанных ею углов (разумеется, при условии, что спичка всегда поворачивается в одном и том же направлении) всегда кратна развернутому углу. Если же спичка, описывая углы, может поворачиваться в обе стороны, как это часто бывает в случае самопересекающихся многоугольников, то получить сумму углов оказывается невозможным, хотя можно сформулировать некоторые другие теоремы. Например, если спичка скользит по периметру самопересекающегося многоугольника, изображенного на рис. 195, то она будет поворачиваться по часовой стрелке во всех углах А и против часовой стрелки во всех углах В.
Рис. 195 Сумма углов этого самопересекающегося многоугольника, обозначенных буквой А, равна сумме его углов, обозначенных буквой В.
Таким образом, мы не можем получить сумму всех восьми углов этого многоугольника, но можем утверждать, что сумма углов А равна сумме углов В. Наше заключение нетрудно проверить, вырезав многоугольник из бумаги и отрезав все его углы или дав строгое геометрическое доказательство.
Известная 47-я теорема Евклида—теорема Пифагора—допускает много изящных доказательств с помощью ножниц. Мы приведем лишь одно замечательное доказательство, открытое в прошлом веке Генри Перигэлом, лондонским биржевым маклером и астрономом-любителем. Постройте квадраты на катетах любого прямоугольного треугольника (рис. 196).
Рис. 196 Доказательство теоремы Пифагора с помощью листа бумаги и ножниц.
Разделите большой квадрат (или любой из квадратов, если прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре одинаковые части, проведя через центр квадрата две взаимно перпендикулярные прямые, одна из которых параллельна гипотенузе треугольника. Вырежьте из листа бумаги части большего квадрата и меньший квадрат. Не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные части можно передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на рис. 196 этот квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.
Перигэл открыл свой способ разрезания квадрата где-то около 1830 года, но опубликовал его лишь в 1873 году. Он был в таком восторге от своего открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей визитной карточке и изготовил и роздал сотни головоломок, в которых из пяти частей нужно было сложить два квадрата. (Тем, кто не видел схемы разрезания, сложить эти части так, чтобы они сначала составили два квадрата, а затем один большой, довольно трудно.) Из некролога, помещенного в 1899 году в заметках Лондонского королевского астрономического общества, мы узнаем любопытную деталь о Перигэле: «… главной целью его жизни в астрономии» было убедить других, «в особенности молодых людей, еще не закосневших в противоположном мнении», что выражение «Луна обращается вокруг Земли» неправильно передает характер движения нашего естественного спутника. Перигэл писал брошюры, строил модели и даже сочинял поэмы, чтобы доказать инакомыслящим правильность своей точки зрения, «с неизменной стойкостью духа перенося все новые и новые разочарования и убеждаясь, что ни одно из использованных им средств не приносит желаемого результата».
Разрезание многоугольников на части и составление из последних новых многоугольников принадлежит к числу наиболее увлекательных областей занимательной математики. Доказано, что любой многоугольник можно разрезать на конечное число частей, образующих любой другой многоугольник, равновеликий первому, но разрезание фигур представляет интерес лишь в тех случаях, когда число частей достаточно мало, чтобы метаморфоза поражала воображение зрителей. Кто мог предсказать, что правильную шестиугольную звезду можно разрезать всего лишь на пять частей, из которых составляется квадрат (рис. 197)?