Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Рис. 197 Как нужно разрезать правильную шестиугольную звезду для того, чтобы ее можно было превратить в квадрат.
(Для того чтобы составить квадрат из частей пятиугольной звезды, ее требуется разрезать не менее чем на восемь частей.) Ведущим специалистом по разрезанию геометрических фигур, по-видимому, считается австралиец Гарри Линдгрен. На рис. 198 показан принадлежащий ему способ разрезания правильного двенадцатиугольника, из частей которого составляется квадрат.
Рис. 198 Как разрезать правильный двенадцатиугольник, чтобы из его частей сложить квадрат.
Существует еще один совершенно иной класс развлечений, также связанный с вырезанием из бумаги, но знакомый больше фокусникам, чем математикам: лист бумаги сначала несколько раз складывают, затем делают один-единственный прямой разрез и, развернув, показывают зрителям тот или иной удивительный результат.
Например, развернутый лист бумаги может иметь форму правильного многоугольника или более сложной геометрической фигуры, в нем может появиться отверстие столь же причудливой формы и т. п.
Фокусникам хорошо известен необычный фокус с одним разрезом под названием «двухцветный разрез». Квадратный кусок клетчатой ткани размером восемь клеток на восемь, напоминающий обычную шахматную доску (клетки могут быть, например, красными и черными), определенным образом складывают и производят один разрез ножницами. В результате красные квадраты оказываются отделенными от черных, а вся «доска» — разрезанной на отдельные квадраты. Взяв лист кальки (тонкая бумага позволит нам видеть контуры клеток, даже когда она будет сложена в несколько раз), нетрудно наметить линию разреза для этого фокуса и способы вырезания простых геометрических фигур. Вырезание же более сложных узоров представляет довольно сложную задачу.
Старый фокус неизвестного происхождения, также связанный с разрезанием листа бумаги, показан на рис. 199.
Рис. 199 Старый фокус с разрезанием листа бумаги.
Обычно, показывая его, рассказывают историю о двух современных политических лидерах, один из которых пользовался всеобщей любовью, а другой — ненавистью. Оба скончались и предстали перед небесными вратами. У Плохого лидера, как водится, не оказалось никаких документов на право входа, и он обратился за помощью к стоявшему за ним Хорошему лидеру. Хороший сложил свой листок бумаги так, как показано на рис. 199, а — д, и разрезал сложенный лист по пунктирной линии. Часть листа, торчащую вверх слева, он оставил себе, а все остальное отдал Плохому лидеру. Святой Петр, взяв из рук Плохого лидера части листа, сложил из них слово «hell» — ад (рис. 199,е) и отправил Плохого по указанному адресу. Развернув часть листа, предъявленную Хорошим лидером, святой Петр увидел крест, изображенный на рис. 199,ок.
Неизогнутый ровный лист бумаги, очевидно, нельзя разрезать по прямой так, чтобы получились криволинейные фигуры, но если лист бумаги навернуть на конус и пересечь его плоскостью, то край листа в зависимости от угла наклона секущей плоскости будет иметь вид окружности, эллипса, параболы или гиперболы. Все эти кривые, как и должно быть, являются коническими сечениями и были изучены еще древними греками. Менее известен тот факт, что синусоиду можно построить очень быстро, если лист бумаги обернуть много раз вокруг цилиндрической свечи, а затем перерезать наискось и свечу и бумагу. Развернув обе половинки листа, вы увидите, что края вырезаны по синусоиде — одной из фундаментальных форм волнового движения в физике. Этот фокус полезен и для домашних хозяек, желающих украсить край бумаги, которой они застилают кухонные полки.
В заключение приведем две занимательные задачи на складывание и вырезание. В обеих задачах речь идет о построении кубов.
Первая из них легкая, вторая потруднее.
1. Полоска бумаги имеет в ширину 3 см. Какова длина самой короткой полоски, из которой можно сложить куб с длиной ребра 3 см? Сложенный куб должен иметь все шесть граней.
2. Квадрат белой бумаги со стороной 9 см выкрашен с одной стороны в черный цвет и расчерчен на девять квадратов, каждый из которых имеет размер 3x3 см. Если разрезы разрешается делать только по проведенным линиям, можно ли разрезать лист бумаги так, чтобы из него сложить куб, все шесть граней которого были бы черного цвета? Развертка куба должна состоять из одного куска.
Разрезать и складывать развертку по каким-либо прямым, кроме уже проведенных, нельзя.
* * *
Существуют, разумеется, самые разнообразные геометрические доказательства того, что сумма углов при вершинах трех изображенных на рис. 194 различных типов пятиконечных звезд равна 180°. Читателю полезно самому додуматься до них, хотя бы для того, чтобы оценить, насколько проще и нагляднее доказательство с помощью метода скользящей спички.
Ответы
Самая короткая полоска бумаги шириной 3 см, из которой можно сложить куб размером 3 х 3 см, имеет в длину 21 см. Как складывать полоску, показано на рис. 200.
Рис. 200 Как сложить куб с длиной ребра 3 см из полоски бумаги шириной 3 и длиной 21 см.
Если полоска с одной стороной выкрашена в черный цвет, то для того, чтобы сложить куб с шестью черными гранями, потребовалось бы взять полоску длиной 24 см.
Сложить куб с шестью черными гранями из квадратного куска бумаги, выкрашенного с одной стороны в черный цвет, можно многими различными способами. Для этого выкройка должна содержать не менее восьми квадратов, но положение отсутствующего (девятого) квадрата ничем не фиксировано. На рис. 201 показана выкройка, у которой вырезан центральный квадрат, и способ, позволяющий сложить из нее черный куб.
Рис. 201 Разрезав квадратный лист бумаги так, как показано вверху слева, вы сможете сложить куб, все шесть граней которого будут черного цвета. (Нижняя сторона листа бумаги окрашена в черный извет.)
Во всех решениях общая длина разреза равна пяти сторонам квадрата. (Если используется весь большой квадрат, то есть все девять маленьких, то длина разреза может быть уменьшена до периметра маленького квадрата.)
Глава 39. ИГРЫ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ
«Играм присущи некоторые черты произведений искусства—писал Олдос Хаксли. — С их простыми и четкими правилами они предстают перед нами как островки порядка в хаосе и неразберихе эмпирического опыта. Когда мы играем в них сами или только наблюдаем, как в них играют другие, мы переходим из непостижимой вселенной данной реальности в маленький, строго упорядоченный мир, созданный человеком, где все ясно, целесообразно и легко доступно пониманию. Дух соревнования, примешиваясь к внутренней прелести игр, делает их еще более увлекательными, в то время как жажда выигрыша и яд тщеславия в свою очередь придают особую остроту соревнованию».