Математический аппарат инженера

Сигорский Виталий Петрович

– 30 -

Столбцевую и строчную матрицы называют также векторами и сокращенно обозначают как x = (x₁, x₂, ..., x_n) y = (y₁, y₁, ..., y₁). Обычно из контекста ясно, идет ли речь о векторе-столбце или о векторе-строке. В противном случае используют приведенные выше обозначения.

Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно n, называется квадратной матрицей

порядка n. Совокупность ii-клеток (i = 1, 2, ..., n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, все элемента которой вне главной диагонали равны нулю, т.е.

называется диагональной и более кратко записывается D = diag(d₁, d₂, ..., d_n). Если в диагональной матрице d₁ = d₂ = ...= d_n = 1, то имеем единичную матрицу n-го порядка

– 31 -

которая часто обозначается также через 1_n или просто цифрой 1 (не следует принимать это обозначение за число, равное единице).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь любой размер m x n, в то время как единичная матрица всегда квадратная. Матрица, состоящая только из одного элемента, обычно отождествляется с этим элементом.

Квадратная матрица зазывается верхней (нижней) треугольной, если равны нулю все элементы, расположенные под (над) главной диагональю:

Диагональная матрица является частным случаем как верхней (А), так и нижней (В) треугольных матриц.

3. Сложение матриц. Сумма двух матриц А и В одинаковых размеров определяется как матрица С тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т.е. C = A +B, если c_ij = a_ij + b_ij. Пример:

Из приведенного определения следует, что операция сложения матриц коммутативна, т.е. А+В = В+А, и ассоциативна, т.е. (А+В)+С = А+(В+С). Она естественным образом распространяется на любое число слагаемых. Очевидно также, что матрица А не изменяется при суммировании ее с нулевой матрицей тех же размеров, т.е. А + 0 = А.

4. Умножение матрицы на число. По определению произведением матрицы А на число (в отличие от матриц и векторов, числа часто называют скалярами) является матрица С = А, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы А на это число , т.е. c_ij = a_ij. Пример:

– 32 -

Очевидно, справедливы следующие соотношения: (A + B) = A +B; ( + )A = A + A; A = (A), где A и B — матрицы одинакового размера; и — числа (скаляры). Общий множитель

элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.

Разность двух матриц одинаковых размеров сводится к уже рассмотренным операциям соотношением A — B = A + (-I)B, т.е. C = A — B, если c_ij = a_ij — b_ij.

5. Умножение матриц. По многим соображениям целесообразно определить эту операцию следующим образом: Произведением матрицы A размера (m x n) на матрицу B размера (n x r) является матрица C = AB размера (m x r), элемент c_ij которой, расположенный в ij-клетке, равен сумме произведений элементов i-й строки матрица A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е.

Умножение А на В допустимо (произведение АВ существует) если число столбцов А равно числу строк В ( в таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме). Пример:

– 33 -

Для матриц A (m x n) и B(n x m) существует как произведение АВ размера m x m, так и произведение BA размера n x n. Ясно, что при m x n эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при m = n, т.е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения АВ и ВА не обязательно равны между собой. Например, для матриц

имеем:

Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (AB /= BA). Если же выполняется соотношение AB = BA, то матрицы А и В называю коммутирующими или перестановочными. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (AB)C = A(BC) = ABC (ассоциативностью), A(B + C) = AB + AC и (A +B)C = AC +BC (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).

Умножение (m x n) — матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. E_mA = AE_n = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.

Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:

6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при

– 34 -

сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается A^t или A':

Произвольная (m x n) — матрица при транспонировании становится ( n x m ) - матрицей, а элемент a_ij занимает ji — клетку, т.е. a_ij = a^t_ji.