Математический аппарат инженера
Шрифт:
Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:
а- элементы исходного множества; б — цифры.
15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2n элементов.
16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.
17. Дайте словесное описание каждому из следующих
а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};
б) {x|x2 — 4x + 3 = 0};
в) {x|x — инженер нашего отдела};
г) {x|x A и z B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;
д) {x R |x = 3k, k N} N — множество натуральных чисел;
е) {x2 + 1 |x - целое число}
18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение A B A B
19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ; A + = A.
20. Покажите, что из соотношения A B = C следует C A и C B.
21. Пусть M1 и M2 — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.
– 28 -
а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.
б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.
в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.
22. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений (Р M1, M1 M2 P, M2 P = ) непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить? Для ответа на поставленные вопросы проведите сначала логические рассуждения, а затем воспользуйтесь кругами Эйлера. Сформулируйте выводы, соответствующие полученному результату.
23. Запишите множество упорядоченных пар (x, y), выражающих отношение «x — делитель y» на множестве целых чисел от 2 до 10 включительно. Является ли это отношение функцией? Обладает ли оно свойством транзитивности?
24. Запишите отношение между элементами множества цифр из задачи 13, выражающееся как «x имеет больше двух общих элементов с y».
25. Пусть x X, y Y и A — отношение между элементами множеств X и Y, выражаемое соотношением xAy. Укажите, в каких случаях А можно рассматривать как функцию:
а) X — множество студентов, Y - множество учебных дисциплин, xAy - «x изучает y»;
б) X - множество спортсменов, Y - рост в единицах длины, xAy - «x имеет рост y»;
в) X — множество компонентов электрической цепи, Y- множество узлов цепи, xAy - «x связан с y».
3. Матрицы
1. Матрица как таблица. Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:
Такая таблица, состоящая из m строк и n
Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.
– 29 -
В общем обозначении элемента aij первый индекс i всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца. Элемент, расположенный в ij -клетке, называют ij -элементом.
Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, обозначающие матриц, набирают жирным шрифтом или снабжают какими-либо дополнительными символами). Однако независимо от принятого способа обозначения матрица всегда является совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т.е. А = В при условии aij = bij (i = 1, 2, ... , n). Ясно, что сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отношение равенства.
Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть А — комплексная (m x n)-матрица с элементами aij = ij + iij. Матрица A того же размера с элементами a*ij = ij + iij называется комплексно-сопряженной с А.
Часто для упрощения нулевые элементы в таблицу не записывают, но при этом имеют в виду, что пустые клетки тоже содержат числа (нули).
Кроме приведенной выше клеточной записи, используют и другие способы представления матриц, например:
Матрицы впервые появились в середине прошлого столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли советские математики И. А. Лаппо-Данилевский, А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн.
2. Типы матриц. Матрица может иметь любое количество строк и столбцов (конечное или бесконечное). В дальнейшем при отсутствии оговорок будут рассматриваться конечные матрицы с числовыми элементами.
Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она соответственно называется столбцовой или строчной (употребляются также названия матрица-столбец и матрица-строка). В таких случаях достаточно отмечать элементы одним индексом: