Математический аппарат инженера

Сигорский Виталий Петрович

Функцией в таком общем понимании будет, например, соответствие между деталями какого-либо механизма и их массой (каждой детали соответствует ее масса), между человеком и его фамилией и т. п. В то же время такие отношения как неравенство (<) или «быть братом» функциями не являются, так как для каждого числа можно указать бесконечные множества превышающих его чисел, а человек может иметь несколько братьев или совсем их не иметь.

Обобщение понятия функции явилось одним из отправных моментов нового важного раздела современной математики - функционального анализа. Это понятие имеет

огромное прикладное значение, так как позволяет рассматривать функциональные отношения между объектами любой природы.

Задачи и упражнения

1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?

а) x {2, a, x}; б) 3 {1, {2, 3}, 4}; в) x {1, sinx}; г) {x, y} {a, {x, y}, b}.

2. Равны ли между собой множества А и В (если нет, то почему)?

а) A = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2};

б) A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4};

в) A = {2, 4, 5}, B = {2, 4, 3};

г) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6};

д) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6};

3. Связаны ли множества А и В отношением включения (если да, то укажите, какое из них является подмножеством другого)?

– 26 -

а) A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d};

б) A = {a, c, d, e}, B = {a, e, c}

в) A = {c, d, e}, B = {c, a}

4. В каких отношениях народятся между собой следующие три множества:

A = {1,3}; B — множество нечетных положительных чисел; C — множество решений уравнения x² — 4x + 3 = 0?

5. Образуйте множество праздничных дней 1975 г. Пересекается ли это множество с множеством воскресных дней того же года? Если да, то запишите элементы пересечения этих двух множеств.

6. К каким видам относятся следующие множества: A — множество конденсаторов в радиоприемнике; B — множество квадратов целых чисел; C — множество решений уравнения 2x — 3 = 0; D — множество деревьев на Луне?

7. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсума, запишите следующие его подмножества: A — четных чисел; B- нечетных чисел; C — квадратов чисел; D — простых чисел. В каких отношениях находятся эти подмножества?

8. Запишите множества, получаемые в результате следующих операций над множествами из задачи 7: A B, A B, A C, A D, C\A, C\D, C + D. Сформулируйте определяющие свойства каждого из полученных множеств.

9. Три прибора x, y, z сравнивают по двум показателям, причем выделяют тот из приборов, у которого данный показатель наилучший (случаи одинаковых показателей исключаются).

а) Образуйте множество U всевозможных исходов такого сравнения,

обозначив элементы этого множества упорядоченными парами букв для приборов с наилучшими показателями (например, исход yx означает, что по первому показателю лучшим оказался прибор y, а по второму — прибор x).

б) Сколько элементов содержит множество всевозможных исходов сравнения m приборов по n показателям?

в) Перечислите элементы множеств возможных исходов, при которых прибор оказывается лучшим по первому показателю (A), по второму показателю (B), хотя бы по одному показателю (C), по обоим показателям (D), не является лучшим ни по одному показателю (E).

10. Для множеств A, B, C, D, E из задачи 9в дайте ответы на следующие вопросы:

а) Какие множества выражаются через объединение, дополнение, пересечение других множеств?

б) Какому множеству соответствует разность А \ В и каков его смысл?

в) Какие множества связаны между собой отношением включения?

г) Какому множеству соответствует дизъюнктивная сумма А+В и каков его смысл?

11. На примере множеств А и В из задачи 9в покажите справедливость соотношения A\B = A B и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

12. Что можно сказать от отношениях между множествами A, B, C, представленными кругами Эйлера на рис. 4? Запишите с помощью операций над множествами выражения для множеств, соответствующих заштрихованными областями.

13. Для написания цифр почтового индекса используют множество из девяти элементов, которые обозначены буквами на рис. 5, а, а сами цифры изображены на рис. 5, б.

а) Сколько различных фигур можно изобразить с помощью всевозможных комбинаций из элементов исходного множества, считая, что в каждой такой комбинации может участвовать от 0 до 9 элементов? Какой процент этих комбинаций используется для начертания цифр?

– 27 -

б) Запишите множества A_k (k = 0,1, ... , 9) элементов каждой из десяти цифр ( например, A₇ = {a, c, f}). Имеются ли среди них непересекающиеся множества?

в) Запишите для каждого из элементов s ( s = a, b, ... , i) множество B_s, состоящее из цифр, в написании которых используется элемент s (например, B_f = {0, 6, 7, 8}). Какие элементы используются наиболее редко и наиболее часто?

Рис. 4. Круги Эйлера к задаче 12.

г) Считая мерой близости цифр количество общих элементов, укажите цифры, наименее и наиболее близкие цифре 3. Какой операции над множествами A_k соответствует множество, определяющее меру близости цифр?

14. В химическом продукте могут оказаться примеси четырех видов, обозначенных через a, b, c, d. Приняв в качестве исходного множества A = {a, b, c, d}, образуйте множество всех его подмножеств Р(А). Дайте содержательное истолкование этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?