Чтение онлайн

на главную

Жанры

Математический аппарат инженера
Шрифт:

Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = At, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением aij = aji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -At, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением aij = -aji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. aii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:

Ясно,

что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n2 элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только 1/2 n (n + 1), а для кососимметричной -1/2 n (n + 1) элементов.

– 35 -

Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица (A)t называется сопряженной с А и обозначается A*. Матрица, равная своей сопряженной, т.е. A = (A)t = A*, называется эрмитовой. Если A = -(A)t, то А — косоэрмитова матрица.

Легко показать, что транспонирование произведения АВ равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (AB)t = BtAt. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. (At)t = A.

7. Матричная запись системы линейных уравнений. Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений, что и обусловило и определение основных матричных операций. Система линейных уравнений:

записывается одним матричным равенством

Действительно, перемножив в правой части равенства ( m x n ) - матрицу на столбцевую матрицу, получим

– 36 -

Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если обозначить

то матричное равенство запишется еще короче

y = Ax.

Такое представление системы линейных уравнений оказалось возможным благодаря правилу умножения матиц, которое наилучшим образом подходит для этой цели. Однако исторически дело обстояло как раз наоборот: правила действий над матрицами определялись, прежде всего, исходя из удобства представлений систем линейных уравнений.

8. Линейные преобразования. Систему уравнений, записанную в начале предыдущего пункта, можно рассматривать как линейное преобразование совокупности величин x1, x2, ..., xn в совокупность y1, y2, ..., ym. Это преобразование полностью определяется коэффициентами aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). На языке матриц линейное преобразование y = Ax означает преобразование

столбца х в столбец у, которое определяется матрицей преобразования А.

Пусть величины x1, x2, ..., xn получаются из некоторой совокупности величин z1, z2, ..., zn посредством линейного преобразования x = Bz, где x и z — столбцы соответствующих величин; В — матрица их преобразования. Тогда формальной подстановкой х в первое матричное уравнение получаем

y = Ax = A(Bz) = (AB)z = Cz,

где C = AB — матрица преобразования величин z и y. К этому же результату можно прийти путем подстановки значений x1, x2, ..., xn из второй системы уравнений в первую с учетом введенного ранее правила умножения прямоугольных матиц.

9. Обратная матрица. В обычной алгебре два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. Число, обратное числу a обозначают через a– 1 и по определению aa– 1 = 1

– 37 -

Аналогично в матричной алгебре две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т.е. AA– 1 = A– 1A = 1, называют взаимно обратными ( A– 1 обратна A). Однако дальше этого аналогия не проходит.

Выражение a– 1b, где a и b — числа, можно представить как частное от деления b на a, но для матриц такое представление не имеет смысла и в общем случае A– 1B /= BA– 1. Поэтому вместо операции деления В на А различают левое частное A– 1B и правое частное BA– 1, которые сводятся к умножению слева или справа на обратную матрицу A– 1.

Способ обращения матрицы проще всего установить, рассматривая решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

В матричной форме эта система уравнений запишется как Ax = q, где А — квадратная матрица n-го порядка, называемая матрицей системы: x и q — столбцевые матрицы неизвестных переменных и свободных членов:

Матричное уравнение Ax = q решается умножением обеих его частей слева на обратную матрицу A– 1 т.е. A– 1Ax = A– 1q в результате получаем x = A– 1q.

В соответствии с правилом Крамера неизвестные xk(k = 1, 2, ..., n) определяются соотношением:

где — определитель системы уравнений sk — алгебраические дополнения.

– 38 -

Определитель представляет собой числовую функцию, которая вычисляется по определенным правилам на основании квадратной таблицы, состоящей из коэффициентов системы уравнений

Поделиться:
Популярные книги

Черный Маг Императора 13

Герда Александр
13. Черный маг императора
Фантастика:
попаданцы
аниме
сказочная фантастика
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 13

Последняя Арена 4

Греков Сергей
4. Последняя Арена
Фантастика:
рпг
постапокалипсис
5.00
рейтинг книги
Последняя Арена 4

Маяк надежды

Кас Маркус
5. Артефактор
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Маяк надежды

Великий перелом

Ланцов Михаил Алексеевич
2. Фрунзе
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Великий перелом

Сопротивляйся мне

Вечная Ольга
3. Порочная власть
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
6.00
рейтинг книги
Сопротивляйся мне

Инквизитор Тьмы 2

Шмаков Алексей Семенович
2. Инквизитор Тьмы
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Инквизитор Тьмы 2

Мастер Разума V

Кронос Александр
5. Мастер Разума
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Мастер Разума V

Бандит 2

Щепетнов Евгений Владимирович
2. Петр Синельников
Фантастика:
боевая фантастика
5.73
рейтинг книги
Бандит 2

Истребители. Трилогия

Поселягин Владимир Геннадьевич
Фантастика:
альтернативная история
7.30
рейтинг книги
Истребители. Трилогия

Гардемарин Ее Величества. Инкарнация

Уленгов Юрий
1. Гардемарин ее величества
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
альтернативная история
аниме
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Гардемарин Ее Величества. Инкарнация

Падение Твердыни

Распопов Дмитрий Викторович
6. Венецианский купец
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.33
рейтинг книги
Падение Твердыни

"Дальние горизонты. Дух". Компиляция. Книги 1-25

Усманов Хайдарали
Собрание сочинений
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Дальние горизонты. Дух. Компиляция. Книги 1-25

Ох уж этот Мин Джин Хо 2

Кронос Александр
2. Мин Джин Хо
Фантастика:
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Ох уж этот Мин Джин Хо 2

Энфис 6

Кронос Александр
6. Эрра
Фантастика:
героическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Энфис 6