Математика от А до Я: Справочное пособие (издание третье с дополнениями)
Шрифт:
Вводя как в работе [132] удельную скорость вовлечения
представляющую собой массу вовлекаемого воздуха, отнесенную к единице высоты Z, получаем для М следующие выражение:
М = еZ
Рассмотрим вначале случай постоянных значений и .
Подставив это выражение для массы облака в формулу (3.84) при = const и = const, получаем:
Находим постоянную
при Z=Zg = g
откуда
И окончательное выражение для дефекта температуры термоклуба получаем при подстановке постоянной С в уравнение (3.85):
Эта формула при Zg = 0 совпадает с формулой работы [132], полученной в предложении сохранения потенциальной температуры воздушной частицы при ее адиабатическом смещение вдоль оси Z и при задании исходного уровня Z=0 и начального перегрева 0 =Т0 — Т.
Высота стабилизации вещества облака из соотношения (3.86), определяемая из условия 0=0, находится при подстановке вместо Z его предельного значения Zm.
Поучаем
Это выражение является обобщением формулы Л. Махты для высоты стабилизации выброса в атмосфере, которое учитывает процесс неадиабатического расплывания выброса, начинающийся с уровня Zg — высоты потери его динамической индивидуальности.
Формула Л. Махты [127]:
где 0 — разность потенциальных температур на исходном уровне Z = О, дает аналогичные значения для Zm.
Формула (3.87) имеет смысл при у < О, т. е. при устойчивом состоянии атмосферы, когда температура воздуха уменьшается с высотой медленнее, чем на 1 градус на каждые 100 метров.
При этом
На графиках Рис. 3.20 представлено сравнение результатов расчетов высот подъема взрывных выбросов Zm в зависимости от начального перегрева вещества клуба, выполненное по различным формулам. Отметим, что формула (3.87) при Z = 0 и g0 =Т0– Т дает значения высот подъема взрывных клубов такие же, как по формуле Л. Махты.
Расчеты выполнялись для следующих условий[132]: =5 x 0– 4 1/м (вовлечение 1 кг воздуха на каждые 4 кг облачного воздуха при подъеме его на 500 м) при вариации коэффициента .
Как следует из графиков этого рисунка, формула Сэттона дает заниженные значения для Zm при любых начальных перегревах вещества выброса. Этот факт отмечается и в работе [132], где кроме этого подчеркивается качественное согласие результатов расчетов по формуле Махты с экспериментальными данными по высотам стабилизации облаков ядерных взрывов. Расчеты по формуле (3.87) показывают очень сильную зависимость Zm от степени устойчивости атмосферного воздуха, что является физически правдоподобным.
Для получения выражения для высоты стабилизации выбросов в реальной атмосфере [152] следует исходить из наличия турбулентных пульсаций температуры атмосферного воздуха
Будем исходить из уравнения (3.83а) при учете связи вовлечения Е в произвольный объем с его боковой поверхностью S и изменением массы облака по времени
где удельное вовлечение Е для нагретого вещества выброса, поднимающегося со скоростью W в атмосфере записывается так:
S — площадь поверхности термоклуба через которую происходит вовлечение окружающего воздуха; — коэффициент вовлечения.
Не ограничивая общности рассуждений, можно считается термоклуб сферическим.
Тогда
где — объем термоклуба
При получении этого выражения была использована связь:
Подставляя вместо S и их значения в формулу (3.91), получаем:
При получении этого выражения было использовано условие изоабатичности течения. Коэффициент n учитывает соотношение боковой поверхности и его объема. Если R — радиус эквивалентной сферы, имеющей объем нагретого облака, то n = 3.
Уравнение для определения дефекта температуры термоклуба на высотном уровне стабилизации его вещества запишется в окончательной форме:
Это уравнение может быть решено численно. Для получения приближенного его решения воспользуемся условием малости :
Тогда уравнение (3.93) приобретает приближенный вид:
Его решение записывается так:
Постоянная С определяется из начального условия для дефекта температуры на уровне потери клубом динамической индивидуальности: при Z = Zg = g
Рис. 3.20. Высота подъема облака взрыва в зависимости от начального перегрева g=T0 — Т.
Откуда получаем
Окончательно для перегрева вещества распавшегося выброса получаем выражение:
Подставляя вместо (Z) конкретные значения профиля градиента атмосферной температуры как функции высоты Z, можно получить связь перегрева вещества выброса с его геометрической высотой и с высотой потери им динамической индивидуальности. В частности высота стабилизации вещества клуба в турбулентной атмосфере найдется из соотношения (3.95) при задании на этом высотном уровне значения дефекта температуры вещества клуба в виде: при Z = Zm = m, где