Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь
Шрифт:
От самых страшных последствий взрыва Акико защитила сейсмостойкая конструкция здания. Придя в себя, она выбралась на улицу и обнаружила, что чистого голубого утреннего неба больше нет. Второе солнце над Хиросимой зашло почти так же быстро, как и взошло. Улицы были темны, затянуты пылью и дымом. Куда ни кинь взгляд, везде лежали тела. Акико пережила ужасный экспоненциальный взрыв, оказавшись всего в 260 метрах от его эпицентра, – это удалось единицам.
По оценкам, в результате взрыва бомбы и последовавших за ним пожаров, которые охватили город, погибло около 70 тысяч человек, 50 тысяч из которых были гражданскими лицами. Большинство зданий города были полностью разрушены. Пророческая сентенция Оппенгеймера сбылась. Насколько бомбардировки Хиросимы и, спустя три дня, Нагасаки, в контексте завершения Второй мировой войны были оправданны, и по сей день остается предметом споров.
«Мирный» атом
Со всеми плюсами и минусами атомной бомбы как таковой, проведенное в рамках Манхэттенского проекта тщательное изучение экспоненциальных цепных реакций, возникающих при расщеплении атома, наделило нас технологией, необходимой для получения чистой и безопасной энергии, производство которой не связано с выбросами углерода, – ядерной энергетикой. Один килограмм урана-235 может
12
Bernstein, J. (2008). Nuclear Weapons: What You Need to Know. Cambridge University Press.
Вечером 25 апреля 1986 года [13] Александр Акимов, начальник смены, заступил на ночную вахту на электростанции. Через пару часов должен был начаться эксперимент по стресс-тестированию системы охлаждения. Приступая к эксперименту, Александр, вероятно, думал, как ему повезло иметь стабильную работу на Чернобыльской АЭС, когда Советский Союз разваливался, а 20 % его граждан жили в нищете.
Примерно в 11 часов вечера в рамках программы испытаний Акимов с пульта управления ввел в активную зону реактора ряд регулирующих стержней между урановыми топливными стержнями для того, чтобы снизить мощность реактора примерно до 20 % от нормального рабочего уровня. Регулирующие стержни поглощали часть нейтронов, высвобождающихся при атомном делении, чтобы те не вызвали расщепление слишком большого количества других атомов. Это остановило процесс быстрого развития цепной реакции, которая – свободно нарастая по экспоненте – вызывает взрыв в атомной бомбе. Однако Акимов случайно ввел слишком много стержней, что привело к значительному падению мощности станции. Он знал, что это вызовет так называемое отравление реактора – появление материала, который, подобно регулирующим стержням, еще больше замедлит реактор и понизит температуру, что приведет к еще большему отравлению и дальнейшему охлаждению в цикле положительной обратной связи. В панике он переключил управление системой безопасности на себя, выведя из активной зоны реактора в режиме ручного контроля более 90 % регулирующих стержней, чтобы предотвратить его полную деструктивную остановку.
13
Расхождения во времени обусловлены тем, что автор приводит данные по своему часовому поясу. – Прим. ред.
По мере постепенного увеличения мощности реактора показатели на шкалах датчиков росли у Акимова на глазах, и сердце его снова застучало размеренно. Предотвратив кризис, он перешел к следующему этапу испытаний, отключив насосы. Акимов не знал, что резервные системы перекачивали охлаждающую реактор воду не так быстро, как следовало бы, а обнаружить эту проблему на раннем этапе не удалось. Поступавшая в недостаточном объеме вода быстро испарялась, что снижало ее способность как поглощать нейтроны, так и охлаждать сердечник. Возросшее выделение тепла и повышение мощности привели к тому, что в пар мгновенно превращалось все больше воды. А это вело к дальнейшему увеличению мощности, создавая еще один, куда более смертоносный цикл положительной обратной связи. Оставшиеся вне ручного контроля несколько регулирующих стержней были автоматически введены в активную зону, чтобы сдержать повышенную теплоотдачу, но их не хватало. Понимая, что мощность растет слишком быстро, Акимов нажал кнопку аварийного отключения, предназначенную для введения в активную зону всех стержней управления и отключения питания сердечника, но было слишком поздно. Когда стержни погрузились в реактор, они вызвали резкий всплеск выходной мощности, что привело к перегреву активной зоны, разрушению некоторых топливных стержней и блокировке дальнейшего ввода регулирующих. По мере экспоненциального роста тепловой энергии выходная мощность превысила обычный рабочий уровень в десять с лишним раз. Охлаждающая вода испарялась, вызвав два массивных паровых взрыва, которые уничтожили активную зону и разбросали расщепляющийся радиоактивный материал далеко вокруг.
Отказываясь верить сообщениям о взрыве активной зоны, Акимов передал неверную информацию о состоянии реактора, что задержало жизненно важные работы по предотвращению рассеивания радиоактивных веществ. В конце концов, осознав настоящий масштаб катастрофы, он работал без защиты со своей сменой, чтобы закачать воду в разрушенный реактор. Полученные ими дозы облучения составили 200 грэй [14] . Смертельная доза – около десяти грэй, а значит, что ничем не защищенные работники получили их менее чем за пять минут. Акимов умер через две недели после аварии от острой лучевой болезни.
14
Единица измерения поглощенной дозы ионизирующего облучения. – Прим. пер.
Официально число погибших в чернобыльской катастрофе – всего 31 человек, хотя по некоторым оценкам, их общее количество, включая и ликвидаторов последствий аварии, значительно выше, не говоря уже о гибели людей в результате рассеивания радиоактивных материалов на значительном расстоянии от электростанции. Пожар, начавшийся в разрушенной активной зоне реактора, не могли потушить девять дней. В результате него в атмосферу было выброшено в сотни раз больше радиоактивных материалов, чем во время бомбардировки Хиросимы, что повлекло за собой широкомасштабные экологические последствия почти для всей Европы [15] .
15
International Atomic Energy Agency. (1996). Ten years after Chernobyl: what do we really know? In Proceedings of the IAEA/WHO/EC International Conference: One Decade after Chernobyl: Summing Up the Consequences. Vienna: International Atomic Energy Agency.
Так, 2 мая 1986 года в горных районах Великобритании прошли необычайно сильные ливни. Капли этого дождя содержали радионуклиды – продукты ядерного распада, поднятые
Министерство сельского хозяйства незамедлительно ввело ограничения на продажу и перегон овец в пострадавших районах, что затронуло почти девять тысяч ферм и более четырех миллионов овец. Овцевод Дэвид Элвуд, фермер из Озерного края, с трудом верил в то, что происходит. Облако, несущее невидимые, почти незаметные радиоизотопы, сильно сказалось на его благополучии. Каждый раз, собираясь продать овец, он должен был изолировать их и вызвать государственного инспектора для проверки уровня радиации. Каждый раз инспекторы говорили, что ограничения продлятся еще год или около того. Элвуд жил под этим облаком 25 с лишним лет, пока ограничения не были окончательно сняты в 2012 году.
Правительству, впрочем, было бы гораздо проще проинформировать Элвуда и других фермеров о том, когда уровень радиации станет достаточно безопасным для свободной продажи овец. Уровни радиации удивительно предсказуемы благодаря феномену экспоненциального распада.
Наука датирования
Экспоненциальный распад, по прямой аналогии с экспоненциальным ростом, описывает изменение количества, которое происходит со скоростью, пропорциональной его текущему значению, – помните, как снижалось число конфет M&Ms каждый день и как кривая водной горки показывала это. Экспоненциальный распад описывает такие разные вещи, как вывод медицинских препаратов из организма [16] и скорость оседания пенной шапки на пинте пива [17] . В частности, он отлично описывает, с какой скоростью снижается со временем уровень излучения радиоактивного вещества [18] .
16
Greenblatt, D. J. (1985). Elimination half-life of drugs: value and limitations. Annual Review of Medicine, 36 (1), 421–7.Hastings, I. M., Watkins, W. M., & White, N. J. (2002). The evolution of drug-resistant malaria: the role of drug elimination half-life. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B: Biological Sciences, 357 (1420), 505–19. https://doi.org/10.1098/rstb.2001.1036
17
Leike, A. (2002). Demonstration of the exponential decay law using beer froth. European Journal of Physics, 23 (1), 21–6.Fisher, N. (2004). The physics of your pint: head of beer exhibits exponential decay. Physics Education, 39 (1), 34–5.10.1088/0031–9120/39/1/F11
18
Rutherford, E., & Soddy, F. (1902). LXIV. The cause and nature of radioactivity. Part II. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4 (23), 569–85.Rutherford, E., & Soddy, F. (1902). XLI. The cause and nature of radioactivity. Part I. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4 (21), 370–96. https://doi.org/10.1080/14786440209462856
Нестабильные атомы радиоактивных материалов самопроизвольно испускают энергию в виде излучения даже без внешней инициации. Этот процесс называется радиоактивным распадом. На уровне отдельного атома процесс распада случаен – квантовая теория полагает, что начало распада конкретного атома предсказать невозможно. Но когда речь идет о материале, состоящем из огромного количества атомов, снижение радиоактивности – это предсказуемый экспоненциальный распад. Количество атомов уменьшается пропорционально количеству оставшихся. Каждый атом распадается независимо от других. Характеризующим признаком скорости снижения уровня радиоактивности служит период полураспада вещества – время, необходимое для распада половины нестабильных атомов. Поскольку распад идет по экспоненте, время, необходимое для снижения уровня радиоактивности вещества наполовину, всегда будет одинаковым, независимо от стартового объема радиоактивного материала. Ежедневное поедание конфет, выпавших на стол буквой М кверху, определяет период полураспада пакета M&Ms в один день – ожидается, что мы будем съедать половину сладостей каждый раз, когда вываливаем их из пакета.
Явление экспоненциального распада радиоактивных атомов лежит в основе радиометрического (или радиоизотопного) датирования – метода, используемого для определения возраста материалов по уровню их радиоактивности. Соотнося известную долю успевших распасться радиоактивных атомов с их общим содержанием в веществе, теоретически можно установить возраст любого материала, испускающего атомное излучение. Радиометрическое датирование применяется очень широко – с его помощью оценивают возраст Земли и датируют древние артефакты, такие как свитки Мертвого моря [19] . Если вы когда-нибудь задумывались о том, как, черт возьми, люди узнали, что археоптериксу 150 миллионов лет [20] или что «ледяной человек» Эци умер 5300 лет назад [21] , имейте в виду, что без радиоизотопного датирования тут наверняка не обошлось.
19
Bonani, G., Ivy, S., Wolfli, W., Broshi, M., Carmi, I., & Strugnell, J. (1992). Radiocarbon dating of Fourteen Dead Sea Scrolls. Radiocarbon, 34 (03), 843–9.Carmi, I. (2000). Radiocarbon dating of the Dead Sea Scrolls. In L. Schiffman, E. Tov, & J. VanderKam (eds.), The Dead Sea Scrolls: Fifty Years After Their Discovery. 1947–1997 (p. 881). Bonani, G., Broshi, M., & Carmi, I. (1991). 14 Radiocarbon dating of the Dead Sea scrolls. ’Atiqot, Israel Antiquities Authority.
20
Starr, C., Taggart, R., Evers, C. A., & Starr, L. (2019). Biology: The Unity and Diversity of Life, Cengage Learning.
21
Bonani, G., Ivy, S. D., Hajdas, I., Niklaus, T. R., & Suter, M. (1994). Ams 14C age determinations of tissue, bone and grass samples from the otztal ice man. Radiocarbon, 36 (02), 247–250. https://doi.org/10.1017/S0033822200040534