Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Доказательство, абсолютная строгость и тому подобные понятия — блуждающие огоньки, химеры, «не имеющие пристанища в математическом мире». Строгого определения строгости не существует. Доказательство считается приемлемым, если оно получает одобрение ведущих специалистов своего времени или строится на принципах, которые модно использовать в данный момент. {166} Никакого общепризнанного критерия строгости в современной математике не существует. Математическая строгость переживает сейчас не лучшее время. То, что некогда считалось неотъемлемой особенностью математики — неоспоримый вывод из явно сформулированных аксиом, — навсегда отошло в прошлое. Неопределенность и способность впадать в ошибку присущи логике в той мере, в какой они ограничивают возможности человеческого разума. Приходится лишь удивляться, сколько фундаментальных допущений мы обычно принимаем в математике,
166
Довольно распространенным ныне является такое «определение» (математического) доказательства: доказательство — это рассуждение, которое убеждает нас в справедливости теоремы. При этом вполне допустимо (и даже неизбежно) сосуществование в одной стране и в одно время совершенно разных уровней строгости допустимых доказательств в зависимости от научных школ или даже математических дисциплин (скажем, математическая логика и дифференциальная геометрия).
Философ Ницше как-то раз назвал шутки «эпитафиями эмоциям». Чтобы хоть как-то скрыть охватившее их уныние, математики принялись подшучивать над логикой своей науки: «Достоинство логического доказательства состоит не в том, что оно вселяет веру, а в том, что оно заставляет сомневаться относительно того, какое место в рассуждениях должно вызывать у нас особенно сильные сомнения… К математическому доказательству относись не только с почтением, но и с подозрением!.. Мы не можем более надеяться, что нам удастся быть логичными. Будем же по крайней мере надеяться, что нам удастся не быть нелогичными… Больше страстности — меньше ясности». Математик Анри Леон Лебег, стоявший на позициях интуиционизма, заявил в 1928 г.: «Логика может заставить нас отвергнуть некоторые доказательства, но она не в силах заставить нас поверить ни в одно доказательство». В статье 1941 г. Лебег добавил, что логика служит не для того, чтобы убеждать, создавать уверенность. Мы верим в то, что согласуется с нашей интуицией. Лебег утверждал, что, по мере того как мы становимся все более сведущими в математике, наша интуиция становится все более изощренной.
Даже Бертран Рассел с его сугубо логистической программой не мог удержаться от язвительных замечаний в адрес логики. В «Принципах математики» (1903) Рассел писал: «Одно из главных достоинств присущих доказательствам, состоит в том, что они пробуждают определенный скептицизм по отношению к доказанному результату». В том же издании «Принципов» он утверждал, что, как явствует из самой попытки положить в основу математики систему неопределяемых понятий и исходных утверждений, любой результат вполне может быть опровергнут (для этого достаточно, чтобы кому-нибудь удалось обнаружить противоречие в нашей формально-логической системе), но никогда не может быть доказан. Все в конечном счете зависит от непосредственного восприятия. Чуть позже (1906) Рассел, встревоженный обнаруженными тогда парадоксами, высказался более откровенно, чем имел обыкновение высказываться в последующие годы. Когда антиномии показали, что логическое доказательство на существовавшем тогда уровне строгости небезупречно, Рассел заявил: «Элемент неопределенности должен оставаться всегда, подобно тому как он неизбежно остается в астрономии. Со временем он может существенно уменьшиться, но смертным свойственно ошибаться».
Говоря о насмешках, которым подвергалась логика, нельзя не вспомнить слова одного из видных современных философов и специалистов по основаниям математики австрийца Карла Поппера (р. 1902) {167} :
Существуют три уровня понимания доказательства. На самом низком уровне у вас появляется приятное ощущение, что вы поняли ход рассуждений. Средний уровень достигается, когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем, уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство.
167
Карл Раймунд Поппер выдвинул также так называемый принцип фальсификации(опровержимости), согласно которому критерий научности теории задается возможностью опытного ее опровержения.
Оливер Хевисайд, весьма пренебрежительно относившийся к постоянным заботам математиков о строгости, иронически заявил: «Логика непобедима, потому что одолеть ее можно только с помощью логики».
Феликс Клейн, бывший на протяжении первой четверти XX в. признанным главой мирового центра математики — математического института Гёттингенского университета, — не занимался специально проблемами оснований математики, однако из истории развития этой науки он извлек кое-какие выводы. В своей книге «Элементарная
168
Название книги Клейна (Elementarmathematik vom h"oheren Standpunkte aus)точнее было бы перевести как «Элементарная математика с высшей точки зрения». — Прим. ред.
Математика развивалась подобно дереву, которое разрастается не путем тончайших разветвлений, идущих от корней, а разбрасывает свои ветки и листья вширь, распространяя их зачастую вниз, к корням. В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала…
Аналогичное мнение, хотя и несколько по иному поводу, выразил Пуанкаре: не существует решенных проблем, существуют только проблемы более или менее решенные.
Математики поклонялись золотому тельцу — строгому, одинаково приемлемому для всех доказательству, истинному во всех возможных мирах, искренне веря, что это и есть бог. Теперь наступило прозрение: математики поняли, что их бог — ложный. Но истинный бог так и не открылся, и теперь им не оставалось ничего другого, как гадать, существует ли он вообще. «Пророк Моисей», который мог бы пролить на них свет истины, так и не появился. Математикам оставалось лишь терзаться не находящими ответа вопросами.
У некоторых вполне разумных критиков оснований математики сильное раздражение вызывали нюансы, по поводу которых спорили те, кто занимался основаниями. Если математика в конечном счете основана на интуиции, спрашивал один из таких критиков Имре Лакатош (или Лакатос; 1922-1974), то почему мы должны идти все дальше и дальше?
Почему бы нам не остановиться раньше и не заявить, что «окончательным критерием допустимости того или иного метода должен служить вопрос, является ли он интуитивно убедительным»… Почему честно не признать потенциальную возможность ошибки в математическом доказательстве и не попытаться защитить достоинство знания, возможно в чем-то и ошибочного, от циничного скептицизма, вместо того чтобы обманывать себя тем, будто мы всегда можем искусно заштопать последнюю прореху на ткани нашей «первичной» интуиции?
По поводу относительной ценности интуиции и доказательства уместно привести следующую притчу. В кабинете одного врача над дверью висела подкова. Уходя после приема, пациент спросил врача, принесла ли ему подкова удачу в жизни и в работе. «Нет, — ответил врач, — я не верю в подобные предрассудки. Но все же подкова помогает».
Артур Стэнли Эддингтон заметил однажды: «Доказательство — это идол, во имя которого математики терзают себя». Почему же математики идут на такие муки ради строгого доказательства? Уместно спросить: чем, собственно, занимаются математики, ставящие превыше всего железную логику, если они не знают, непротиворечива ли их наука, и, в частности, не могут прийти к единому мне-иию относительно того, что такое правильное доказательство? Не следует ли им стать полностью безразличными к строгости, поднять руки вверх и заявить, что математика как свод твердо установленных истин не более чем иллюзия? Не должны ли они оставить дедуктивное доказательство и прибегать лишь к убедительным, интуитивно здравым аргументам? Ведь используют же интуитивные соображения физические науки, которые даже там, где они применяют математику, не придают особого значения пристрастию математиков к строгости. Но отказ от строгости вряд ли показан математике. Всякий, кто знает, какой вклад внесла математика в сокровищницу человеческого мышления, не станет жертвовать понятием доказательства.
Нельзя не признать важного значения логики для математики. Если интуиция — господин, а логика — всего лишь слуга, то это тот случай, когда слуга обладает определенной властью над своим господином. Логика сдерживает необузданную интуицию. Хотя, как мы и признали, интуиция играет в математике главную роль, все же сама по себе она может приводить к чрезмерно общим утверждениям. Надлежащие ограничения устанавливает логика. Интуиция отбрасывает всякую осторожность — логика учит сдержанности. Правда, приверженность логике приводит к длинным утверждениям со множеством оговорок и допущений и обычно требует множества теорем и доказательств, мелкими шажками преодолевая то расстояние, которое мощная интуиция перемахивает одним прыжком. Но на помощь интуиции, отважно захватившей расположенное перед мостом укрепление, необходимо выслать боевое охранение, иначе неприятель может окружить захваченную территорию, заставив нас отступить на исходные позиции.