Математика. Утрата определенности.

Клайн Морис

Интуиция может и обмануть нас. На протяжении большей части XIX в. математики — в том числе Коши, одним из первых ставший насаждать математическую строгость, — считали, что любая непрерывная функция имеет производную. Но Вейерштрасс поразил математический мир, продемонстрировав непрерывную функцию, ни в одной точке не имеющую производной. {169} Такая функция недоступна интуиции. Математическое рассуждение не только дополняет интуицию, но и подтверждает, исправляет, а в иных случаях и превосходит ее.

169

Ср. со сказанным в гл. VIII.

То, что дают математикам логические рассуждения, можно пояснить с помощью аналогии. Предположим, фермер купил участок непроходимого леса, намереваясь

расчистить его и заняться земледелием. Вырубив лес на небольшом пятачке, он заметил рыскавших в лесу диких зверей. Опасаясь их нападения, фермер вырубил лес, примыкавший к уже расчищенному участку, и звери отступили вместе с лесом. Теперь их можно было видеть чуть дальше — там, где на границе расчищенного участка стеной поднимался девственный лес. Фермер снова взялся за топор и т.д. до бесконечности. Каждый раз он расчищал все новый участок земли — звери отступали к кромке нетронутого леса. Спросим себя: чего же достиг фермер? По мере того как увеличивался свободный от леса участок земли, фермер обретал все большую безопасность, по крайней мере если он работал в центре расчищенного участка. Но звери не исчезли, они лишь отступили и когда-нибудь смогут неожиданно наброситься на фермера и растерзать его, хотя по мере увеличения размеров расчищенного участка фермер обретал все большую относительную безопасность. Аналогичным образом степень уверенности, с какой мы можем пользоваться центральным ядром математических знаний, возрастает по мере того, как логика применяется для выяснения то одной, то другой проблемы в основаниях математики. Иначе говоря, доказательство гарантирует нам относительную уверенность в правоте. Мы окончательно убеждаемся в правильности той или иной теоремы, если нам удастся доказать ее на основе разумных утверждений о числах и геометрических фигурах, которые интуитивно более приемлемы, чем доказываемая теорема. По словам Реймонда Луиса Уайлдера, доказательство — это проверка идей, подсказанных интуицией.

К сожалению, доказательства одного поколения воспринимаются другим поколением как ворох логических ошибок. Один из основоположников современной математики в США, Элиаким Гастингс Мур (1862-1932), выразил (1903) эту мысль так: «Любая наука, включая логику и математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах не в меньшей мере, чем в результатах». Век строгости короток — это всего лишь один день. В наше время понятие строгости зависит и от того, к какой школе принадлежит математик. Насколько можно судить, самого Уайлдера вполне устроило бы доказательство, не содержащее явных противоречий и к тому же полезное для математики. Например, он не стал бы возражать против понятия гипотезы континуума в качеству аксиомы. Не придавая особого значения доказательству, Уайлдер критиковал различные школы мышления за разобщенность. Разве не напоминает приверженность догматам одной школы в ущерб всем остальным фанатизм религиозных сектантов, провозглашающих своего бога истинным и отвергающих все остальные секты как заблудшие?

Мы не можем отрицать, что не существует ни абсолютного доказательства, ни даже доказательства, одинаково приемлемого для всех. Мы знаем, что если усомнимся в истинности утверждений, принятых на интуитивной основе, то сможем доказать их, лишь приняв на интуитивной же основе некие другие утверждения. Проверяя истинность утверждений, непосредственно воспринимаемых интуицией, мы не можем заходить слишком далеко, не рискуя столкнуться с парадоксами или другими неразрешенными трудностями, часть которых лежит в сфере логики. В начале XX в. знаменитый французский математик Жак Адамар высказал следующую мысль: «Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции». Мы не можем теперь согласиться с Адамаром. Более уместно повторить вслед за Германом Вейлем: «Логика — это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными». Неверно утверждать, что доказательство не играет никакой роли: оно сводит к минимуму риск противоречий.

Нельзя не признать, что абсолютное доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но скорее всего она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и неизменно ускользающий. Мы должны неустанно укреплять то доказательство, которым располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до совершенства. Мораль всей истории развития математического доказательства сводится к следующему: хотя мы и стремимся к недостижимой цели, нам, возможно, удастся произвести чудесные ценности, которые математике случалось дарить миру в прошлом. Если мы изменим свое отношение к математике, то сможем более эффективно заниматься ею, несмотря на постигшее нас разочарование.

Осознание

того, что в обосновании математических истин главную роль играет интуиция, а доказательству отводится лишь вспомогательная роль, означает, что математика в своем развитии описала полный круг. Математика начиналась на интуитивной и эмпирической основе. Начиная с древних греков доказательство стало целью математической деятельности, и, хотя до XIX в. эта цель пребывала в почетной отставке, в конце XIX в. математикам показалось, что они сумели достичь ее. Но попытки довести математическую строгость до пределов возможного завели математиков в тупик: логика нанесла поражение логике, подобно собаке, кусающей себя за хвост. В «Мыслях» Паскаля мы находим следующее признание: «Сила разума в том, что он признает существование множества явлений, ему непостижимых» {170} ([119], с. 157).

170

Противоположной точки зрения придерживался Гильберт — см. приведенную вышецитату из его статьи «О бесконечном» или с. 22 книги [51]. Популярно также известное высказывание А. Эйнштейна: «Самое непостижимое во Вселенной — это то, что она все-таки постижима».

Кант также признавал ограниченность человеческого разума. В его «Критике чистого разума» есть такие строки:

На долю человеческого разума в одном из видов его познания выпала странная судьба: его осаждают вопросы, от которых он не может уклониться, так как они навязаны ему собственной природой; но в то же время он не может ответить на них, так как они превосходят возможности человеческого разума.

([18], т. 3, с. 73.)

Близкую мысль высказал знаменитый испанский писатель и философ Мигель де Унамуно (1864-1936) в «Трагическом смысле жизни»: «Высшего триумфа разум достигает, когда ему удается заронить сомнение в собственной годности».

Более пессимистических взглядов на роль логики придерживался Герман Вейль. В 1940 г. он утверждал: «Несмотря на наше критическое озарение (а может быть, благодаря ему), мы сегодня менее, чем когда-либо раньше, уверены в основаниях, на которых зиждется математика». В 1944 г. Вейль развил свою мысль подробнее:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный окончательный ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.

Как сказал Вейль, математика — это вид умственной деятельности, а не свод точных знаний. Математику лучше всего рассматривать в исторической перспективе. Рациональные конструкции и реконструкции оснований при таком подходе предстают перед нами лишь как попытки исказить историческую правду.

Наиболее крайние взгляды выразил в своей книге «Логика научного исследования» [120] Карл Поппер. Математическое рассуждение никогда не бывает верным, оно может быть только ошибочным. Было бы опрометчивым поручиться и за истинность математических теорем. Существующей математической теорией можно продолжать пользоваться за неимением лучшей, подобно тому как пользовались ньютоновской механикой в течение двух столетий до появления специальной теории относительности или как пользовались евклидовой геометрией до того, как была создана риманова геометрия. Уверенность в правильности математической теории недостижима.

Как свидетельствует история, не существует раз и навсегда заданного, обоснованного единого свода математических знаний. Кроме того, если история позволяет делать какие-то прогнозы, то можно сказать, что любые дополнения к существующей математике потребуют новых оснований. В этом отношении математика схожа с любой из физических наук. Физические теории приходится модернизировать и перестраивать всякий раз, когда новые наблюдения или новые экспериментальные данные вступают в противоречие с ранее установленными теориями и вынуждают формулировать новые. Математическую истину невозможно описать безотносительно ко времени. Все попытки построить математику на незыблемом основании заканчивались неудачей. Непрекращающиеся попытки — от Евклида через Вейерштрасса до современных школ в основаниях — подвести под математику прочный фундамент не дают ни малейшего повода надеяться на эволюционный прогресс, сулящий конечный успех.