Неоконченный поиск. Интеллектуальная автобиография
Шрифт:
Теория вероятностей создавала для меня трудности, как и большая часть другой волнующей и доставляющей удовольствие работы. Фундаментальная проблема Logik der Forschung состояла в проверяемости вероятностных утверждений в физике. Я считал, что эта проблема бросает важный вызов моей общей эпистемологии, и я решил ее при помощи одной идеи, которая, как я полагаю, была неотъемлемой частью этой эпистемологии, а не гипотезой ad hoc. Эта идея состояла в том, что ни одна проверка любого теоретического утверждения не может быть финальной или завершающей и что эмпирический или критический подход включает в себя приверженность некоторым «методологическим правилам», которые диктуют нам не бежать от критики, но принимать опровержения (хотя и не очень поспешно). Эти правила, по сути, являются довольно гибкими. Поэтому принятие опровержения почти столь же рискованно, как и принятие пробной гипотезы: и то и другое — это принятие предположения.
Второй проблемой была проблема многообразия возможных интерпретаций вероятностных утверждений, и
Однако для того, чтобы приступить к проблеме интерпретации утверждений в ее самой общей форме, необходимо было разработать аксиоматическую систему исчисления вероятностей. Это было необходимо и для другой цели — для доказательства моего тезиса, изложенного в Logik der Forschung, что подкрепление не является вероятностью в смысле исчисления вероятностей; иначе говоря, что определенные интуитивные аспекты подкрепления делают невозможным его идентификацию с вероятностью в смысле исчисления вероятностей [165] . (См. текст между примеч. 155 и 159 ниже.)
165
165 (Добавлено в 1975.) См. особенно «Логику научного открытия» [159(a)] и позднейшие издания, пункты с 4 по 6 на с. 396 и далее (= [1966(e)], пункты с 4 по 6 на с. 349 и далее).
В Logik der Forschung я показал, что существует множество возможных интерпретаций идеи вероятности, и настаивал на том, что в физических науках допустима только теория частот по типу той, которая была предложена Рихардом фон Мизесом. (Позднее я модифицировал эту точку зрения путем ввода интерпретации предрасположенностей, и я думаю, что фон Мизес согласился бы с такой модификацией, поскольку утверждения о предрасположенностях все равно измеряются частотами). Но у меня было одно большое техническое возражение, помимо ряда мелких, против всех теорий частот, оперирующих с бесконечными последовательностями. Оно состояло в следующем.
Возьмите любую конечную последовательность 0 и 1 (или только 0 или только 1), неважно какой длины; пусть ее длина будет равняться п, что может составлять сотни миллионов. Начиная с п+1 члена продолжите бесконечную случайную последовательность («коллектив»). Тогда для объединенной последовательности значимыми будут только свойства некоторого концевого множества (начиная с некоторого m>=n+1), так как последовательность удовлетворяет требованиям фон Мизеса, если и только если им удовлетворяет ее концевое множество. Но это означает, что всякая эмпирическая последовательность просто иррелевантна для оценки любой бесконечной последовательности, в которой она образует начальный сегмент.
У меня была возможность обсудить эту проблему (помимо многих других) с фон Мизесом, Гели и Гансом Ганом. Они, конечно, согласились; но фон Мизес не был слишком обеспокоен этим. Его точка зрения (которая хорошо известна) состояла в том, что последовательность, удовлетворяющая его требованиям — «коллектив», как он ее называл, — является идеальным математическим понятием, типа сферы. Любая эмпирическая «сфера» может быть лишь грубым приближением.
Я был готов принять соотношение между идеальной математической сферой и эмпирической сферой в качестве модели отношения между математической случайной последовательностью («коллективом») и бесконечной эмпирической последовательностью. Но я подчеркивал, что не существует удовлетворительного смысла, в котором конечная последовательность могла бы быть объявлена грубым приближением коллектива в трактовке фон Мизеса. Поэтому я приступил к созданию чего-то идеального, но менее абстрактного: идеальной бесконечной случайной последовательности, которая обладала бы свойством случайности с самого начала, так чтобы каждый конечный фрагмент последовательности длины п был настолько идеально случаен, насколько это возможно.
В Logik der Forschung я набросал схему конструирования такой последовательности [166] , но я тогда не осознавал полностью, что эта конструкция на самом деле решала (а) проблему идеальной бесконечной последовательности, которую можно было бы сравнивать с конечной эмпирической последовательностью; (b) проблему конструирования математической последовательности, которая могла бы быть использована вместо (неконструктивного) определения случайности фон Мизеса, и (с) проблему того, чтобы сделать избыточным постулат фон Мизеса о существовании предела, поскольку он теперь мог быть доказан. Или другими словами, я не понимал тогда, что моя конструкция замещала некоторые из решений, предложенных в Logik der Forschung.
166
166 Ср. Приложение iv в [1934(b)] и [1959(a)]. После войны Л. Р. Б. Элтон и я привели доказательство обоснованности этой конструкции. (Боюсь, что по моей вине эта статья никогда не была напечатана). В рецензии на английское издание «Логики научного открытия» Гуд (I. J. Good, Mathematical Reviews, 21, [1960], Review 6318) упоминает собственную статью «Normal recurring Decimals», Journal of the London Mathematical Society, 21, (1946), c. 167–169. To, что моя конструкция обоснована, легко следует — как мне показал Дэвид Миллер — из рассмотрения этой статьи.
Мои идеализированные случайные последовательности не являются «коллективами» в смысле фон Мизеса: хотя они прошли все статистические тесты на случайность, они определенно являются математической конструкцией — их продолжение может быть математически предсказано любым, кто знает метод их конструирования. Однако фон Мизес требовал, чтобы «коллектив» был непредсказуем («метод исключенной игровой системы»). Это радикальное требование имело неприятным следствием то, что нельзя было построить ни одного примера коллектива, поэтому конструктивное доказательство непротиворечивости этого требования оказалось невозможным. Единственным средством выхода из этого затруднения было, конечно же, ослабление этого требования. Так возникла интересная проблема: каким может быть минимальное ослабление, которое позволило бы осуществить доказательство непротиворечивости (или существования)?
Это было интересной, но не моей проблемой. Моей центральной проблемой было конструирование конечных случайноподобных последовательностей произвольной длины, которые могли бы быть расширены до бесконечных идеальных случайных последовательностей.
В начале 1935 года я прочитал лекцию по этому вопросу в одном из эпициклов Венского кружка, после которой был приглашен Карлом Менгером прочитать лекцию на его знаменитом «mathematisches Colloqium». Я обнаружил весьма избранное общество из примерно тридцати человек, среди которых были Курт Гедель, Альфред Тарский и Авраам Вальд; и, по словам Менгера, я стал невольным инструментом пробуждения интереса Вальда к теории вероятности и статистике, где он получил известность. В своем некрологе Вальду Менгер описывает этот случай так [167] :
167
167 Karl Menger, «The Formative Years of Abraham Wald and His Work in Geometry», The Annals of Mathematical Statistics, 23 (1952), 14–20; см. особенно c. 18.
«В это время произошло второе событие, оказавшееся важнейшим для всей дальнейшей жизни и работы Вальда. Венский философ Карл Поппер… попытался уточнить идею случайной последовательности и тем самым исправить очевидные недостатки определения коллективов фон Мизеса. После того, как я услышал (на собрании философского кружка Шлика) полутех-ническое изложение идей Поппера, я попросил его представить этот важный предмет во всех деталях Математическому Коллоквиуму. Вальд глубоко заинтересовался этим, и в результате появилась его превосходная статья о самонепротиворечивости понятия коллективов… Он основал свое доказательство существования коллективов на двусторонней релятивизации этого понятия».
Менгер продолжает характеристику определения коллектива Вальда и заключает [168] : «хотя релятивизация Вальда и ограничивает первоначально неограниченную (и неработающую) идею коллективов, она гораздо слабее требований нерегулярности Копленда, Поппера и Рейхенбаха. Фактически, она включает эти требования в качестве частного случая».
Все это чистая правда, и я сам был весьма впечатлен блестящим решением Вальда проблемы минимального ослабления требований фон Мизеса [169] . Однако, как я по случаю сказал Вальду, это не решало моей проблемы: «коллектив Вальда» с равными вероятностями для 0 и 1 по-прежнему мог начинаться с блока в сотни миллионов 0, поскольку случайность зависела только от того, как он ведет себя в пределе. Следует отметить, что работа Вальда предоставила общий метод деления класса всех бесконечных последовательностей на коллективы и не-кол-лективы, в то время как моя просто позволяла конструировать некоторые случайные последовательности заданной длины — по сути, некоторые весьма специальные модели. Однако любую заданную конечную последовательность, любой длины, всегда можно было продолжить так, чтобы она стала либо коллективом, либо неколлективом в смысле Вальда. (То же самое верно в отношении последовательностей Копленда, Рейхенбаха, Черча и других [170] .)
168
168 Karl Menger, Там же, с. 19.
169
169 Abaraham Wald, «Die Wilderspruchsfreiheit des Kollektivsbegriffes der Wahrscheinlichkeitsrechnung», Ergebnisse eines mathematischen Kolloqiums, 8 (1937), c. 38–72.
170
170 Жан Билль, однако, который читал лекцию на Коллоквиуме Мен-гера примерно в то же время, что и Вальд, нашел решение, сходное с моей «идеальной случайной последовательностью»: он построил математическую последовательность, которая с самого начала удовлетворяла распределению Бернулли, то есть была случайной. (Она несколько «длиннее» моей; иначе говоря, она не так быстро становится нечувствительной к предшествующему отбору, как моя.) Ср. Jean Ville, 'Etude Critique de la notion de collectif, Monographies des Probabilit'es: calcul des probabilit'es et ses apllications, под ред. 'Emile Borel (Paris: Gauthier-Villars, 1939).