Ноль: биография опасной идеи

Сейфе Чарльз

Вместе с вавилонской астрономией пришли и вавилонские числа. Для целей астрономии греки использовали шестидесятеричную систему и даже стали делить час на шестьдесят минут, а минуту — на шестьдесят секунд. Около 500 года до н. э. ноль — символ-заполнитель — начал появляться в вавилонских записях; его использование, естественно, распространилось и среди греческих астрономов. Во времена расцвета древней астрономии в греческих астрономических таблицах регулярно использовался ноль; его символом был строчной омикрон «», который выглядит очень похоже на наш современный ноль, хотя это, возможно, совпадение. (Использование омикрона могло быть следствием того, что это первая буква греческого слова «ничто» — ouden). Греки не любили ноль и использовали его как можно реже. Выполнив вычисления по вавилонской системе, греческие астрономы обычно переводили числа обратно в громоздкую греческую форму — без ноля. Ноль никогда не использовался в числе древних цифр на Западе, так что маловероятно, что омикрон — прародитель нашего ноля.

Греки видели пользу ноля для вычислений, но все равно отвергали его.

Это вызывалось не невежеством и не ограничениями греческой системы «число-форм», а философией. Ноль вступал в противоречие с фундаментальными философскими воззрениями Запада, поскольку ноль содержит две идеи, отравляющие западную доктрину. Действительно, эти концепции со временем разрушили аристотелевскую философию после ее долгого царствования. Опасные идеи были представлениями о пустоте и о бесконечности.

Бесконечность, пустота и Запад

Тебя кусает под одежкой

Блоха, и в свой черед она

Укушена мельчайшей блошкой.

На меньшей меньшая сидит,

И все идет adinfinitum.

Джонатан Свифт. «О поэзии: рапсодия» [7]

Бесконечность и пустота обладали могуществом, которое пугало греков. Бесконечность грозила сделать всякое движение невозможным, а пустота — разбить Вселенную вдребезги. Отвергая ноль, греческие философы придали своему взгляду на Вселенную жизнеспособность на протяжении двух тысячелетий.

7

Английская классическая эпиграмма / Пер. С. Маршака и В. Васильева. М.: Худ. лит., 1987.

Доктрина Пифагора сделалась краеугольным камнем западной философии: Вселенная управлялась отношениями и формами; планеты двигались по небесным сферам и в своем вращении создавали музыку сфер. Но что лежало за их пределами? Существовали ли все большие и большие сферы? Была ли самая внешняя из сфер концом Вселенной? Аристотель и более поздние философы настаивали на том, что не может существовать бесконечного числа сложенных друг в друга сфер. Приняв такую философию, Запад отверг возможность существования бесконечности или бесконечного, потому что бесконечность — благодаря Зенону Элейскому, человеку, которого его современники считали совершенно невыносимым, — начинала подгрызать корни западного мышления.

Зенон родился около 490 года до н. э., в начале Греко-персидских войн — великого конфликта между Востоком и Западом. Греки победили персов, однако греческая философия так и не смогла победить Зенона, потому что Зенон придумал парадокс, логическую загадку, которая для греческих философов представлялась неразрешимой. Для греков это был аргумент, вызывающий сильнейшее беспокойство: Зенон доказал невозможное.

Согласно Зенону, никакое движение во Вселенной невозможно [8] . Конечно, это глупое утверждение: любой человек может опровергнуть его, пройдясь по комнате. Хотя всем было ясно, что утверждение Зенона неверно, никто не мог найти ошибки в его рассуждениях. Парадоксы — логические загадки — Зенона ставили в тупик как греческих философов, так и тех, кто пришел после них; они озадачивали математиков почти две тысячи лет.

8

Строго говоря, автор здесь ошибается: речь идет не о невозможности движения, а о его иллюзорности. Благодаря Платону эта позиция прослеживается до Парменида, Зенон лишь красиво иллюстрирует идею.

В своей самой знаменитой загадке — «Ахиллесе» — Зенон доказывает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неуклюжую черепаху, если она имела преимущество на старте. Чтобы представить это более конкретно, придадим проблеме числовые значения. Предположим, что Ахиллес пробегает один фут в секунду, в то время как черепаха движется со скоростью в два раза меньшей. Предположим также, что черепаха изначально опережала Ахиллеса на один фут.

Ахиллес бежит вперед и за одну секунду достигает того места, где была черепаха. Однако за то время, что он добирается до этой точки, черепаха, которая тоже движется, проходит полфута. Неважно, Ахиллес ведь бежит быстрее, и за полсекунды он покрывает эти полфута. Однако опять же и черепаха за это время продвинулась вперед — на этот раз на четверть фута. Мгновенно — за четверть секунды — Ахиллес преодолевает и это расстояние. Но черепаха за четверть секунды проковыляла еще одну восьмую фута. Ахиллес бежит и бежит, но черепаха каждый раз перемещается вперед; как бы Ахиллес ни приблизился к черепахе, к тому времени, когда он достигает точки, где она только что была, черепаха проходит еще какое-то расстояние. Восьмую часть фута, шестнадцатую часть фута, тридцать вторую часть фута… все меньшее и меньшее расстояние, но все равно Ахиллес никак не может ее догнать. Черепаха всегда его опережает (рис. 10).

Рис. 10. Ахиллес и черепаха

Всем известно, что в реальном мире Ахиллес быстро пробежал бы мимо черепахи, однако рассуждения Зенона как будто доказывали, что он никогда ее не догонит. Философы — современники Зенона — не могли разрешить этот парадокс. Даже зная, что вывод неверен, они никак не могли найти ошибки в математическом доказательстве Зенона. Главным оружием философов была логика, но логическая дедукция представлялась бесполезной против доводов Зенона. Каждый шаг выглядел безупречным, но если все шаги правильны, как вывод может быть неверным?

Проблема поставила греков в тупик, однако они обнаружили источник неприятностей: это была бесконечность. В сердцевине парадокса Зенона кроется именно она: Зенон взял непрерывное движение и разделил его на бесконечное число крошечных шагов. Поскольку число шагов было бесконечным, греки сочли, что гонка будет длиться вечно, несмотря на то, что шаги становились все меньше и меньше. Гонка никогда не закончится в конечный отрезок времени — или так они думали. Древние не имели инструментария для того, чтобы справиться с бесконечностью, однако современные математики научились управляться с нею. Подходить к бесконечности нужно очень осторожно, но все же с ней можно совладать — с помощью ноля. Вооружившись математическими знаниями, полученными за две тысячи четыреста лет, нам нетрудно вернуться и найти ахиллесову пяту Зенона.

У греков не было ноля, но у нас он есть, и в нем заключается ключ к разрешению загадки Зенона. Иногда возможно объединить бесконечные элементы и получить конечный результат, но для этого слагаемые элементы должны стремиться к нолю [9] . Так и обстоит дело с Ахиллесом и черепахой. Когда вы складываете расстояния, которые пробегает Ахиллес, вы начинаете с числа 1, потом прибавляете ¹/₂ , потом ¹/₄ , потом ¹/₈ и так далее; элементы становятся все меньше и меньше, все больше приближаясь к нолю; каждый элемент есть шаг в путешествии, пунктом назначения которого является ноль. Впрочем, поскольку у греков не было ноля, они не могли понять, что это путешествие когда-нибудь кончится. Для них числа 1, ¹/₂ , ¹/₄ , ¹/₈ , ¹/₁₆ и так далее не вели к чему-то: пункт назначения не существовал. Вместо этого греки видели просто элементы, становившиеся все меньше и меньше, выходившие за пределы области чисел.

9

Это необходимое, но не достаточное условие. Если элементы стремятся к нолю слишком медленно, то их сумма не сходится к конечному числу.

Современные математики знают, что эти элементы имеют предел: последовательность чисел 1, ¹/₂ , ¹/₄ , ¹/₈ , ¹/₁₆ и так далее приближается к нолю как к своему пределу, и путешествие имеет пункт назначения. Как только это признано, легко поинтересоваться, как далеко отстоит пункт назначения и сколько времени потребуется, чтобы до него добраться. Не так уж трудно сложить расстояния, которые пробегает Ахиллес: 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ +…+ ¹/_2ⁿ +… Шаги, которые делает Ахиллес, становятся все меньше и меньше, все ближе и ближе к нолю, а сумма этих шагов оказывается все ближе и ближе к двум. Откуда мы это знаем? Что ж, начнем с двух и будем вычитать по одному элементы суммы. Начнем с 2 — 1, что дает, конечно, 1. Затем вычтем ¹/₂ ; останется ¹/₂ . Затем вычтем следующий элемент — ¹/₄ ; останется ¹/₄ … Мы вернулись к знакомой последовательности. Мы уже знаем, что ее предел — ноль; таким образом, по мере того, как мы вычитаем один за другим элементы из двух, не остается ничего. Предел суммы 1 + ¹/₂+ ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ +… равен 2 (рис. 11). Ахиллес пробежит 2 фута, чтобы догнать черепаху, хоть и сделает для этого бесконечное число шагов. Более того, посмотрим, сколько времени потребуется Ахиллесу, чтобы догнать черепаху: 1 + ¹/₂ + ¹/₄ +¹/₈ + ¹/₁₆ +… — 2 секунды. Ахиллес не только совершает бесконечное число шагов, чтобы пробежать конечное расстояние, но и тратит на это всего 2 секунды.