Опционы. Полный курс для профессионалов
Шрифт:
Однако модель Блэка – Шолца основана на ряде допущений. Например, нет никаких предположений относительно направления рынка: предполагается, что рынок колеблется случайным образом, и вероятность роста равна вероятности падения. Также предполагается, что цены движутся без разрывов. Например, после 100 может быть 99 или 101, но никак не 80 или 104. Следовательно, если строить график плотности вероятностей колебания цен закрытия рынка в течение некоторого времени, то получится кривая в форме колокола с более широкой правой стороной,
Еще одно важное допущение состоит в том, что не только цена базового актива имеет нормальное распределение, но и рыночная волатильность зафиксирована.
В 1976 и 1979 гг. Кокс, Росс и Рубинштейн опубликовали собственную модель ценообразования опционов. Это была первая модель, которая могла применяться для американских опционов, предусматривающих возможность досрочного исполнения.
В 1982 г. Гарман и Колхаген дополнили модель Блэка – Шолца, чтобы она могла применяться для валютных опционов. Новая модель учитывала тот факт, что на цену опциона влияют две процентные ставки, а не одна.
В дальнейшем было внесено множество других дополнений. Сейчас на многих рынках действуют модели «новых поколений». Часть из них уточняет старые модели. Другие обходят нереальные предположения, заложенные в ранних вариантах, например, учитывают, что рыночная волатильность не распределена нормально.
В 1994 г. Дерман и Кани разработали модель, базирующуюся на биномиальном дереве, ранее использовавшуюся для долгосрочных американских опционов на акции, для оценки барьерных опционов в условиях кривой волатильностей (каждому периоду соответствует свой уровень волатильности). Постепенно биномиальные модели эволюционировали в триномиальные, дав возможность более точной оценки премий опционов.
* * *
Однако большинство допущений, на которых базируются модели, нарушаются рынками. Следовательно, вводимые в модель данные отличаются от идеализированных допущений, сделанных Блэком и Шолцем, чтобы облегчить вычисления на практике:
• Волатильность и процентные ставки изменяются с течением времени, причем зачастую достаточно хаотично, т. е. они не только не статичны, но и не распределены нормально.
• Существует множество случаев, когда движение цен не соответствует логнормальному распределению. Если происходит непредвиденное событие, прерывается рыночный тренд и появляются ценовые разрывы.
• Трансакционные издержки в виде bid/ask спреда и комиссионных (которые не учитываются в моделях) также являются важным фактором. Покупка и продажа опционов обходятся дороже, чем покупка и продажа на рынке spot. Цена опциона включает три спреда: прокотированный опционным дилером в терминах ожидаемой волатильности; прокотированный дилером на рынке spot и прокотированный дилером на форвардном рынке. В цене на рынке spot всего лишь один спред.
Из-за невыполнимости предположения о логнормальном распределении цен модель ценообразования опционов имеет тенденцию к недооценке валютных otm-опционов. В ранний период развития рынка опционов банки теряли деньги из-за
12. Волатильность
Волатильность – ключевой момент в понимании опционов, элемент, без которого понять опционы нельзя. Напомним сравнение опциона с перстнем, цена которого зависит от двух компонентов: цены драгоценного металла и цены камня. То же самое относится и к опционам, цены которых зависят в основном от двух компонентов: цены базового актива и его волатильности.
1. Три типа волатильности
Давайте еще раз рассмотрим понятия, которые мы обсуждали ранее.
Существует три типа волатильности:
историческая – фактическая волатильность цены продукта в течение определенного исторического периода времени;
ожидаемая – рыночная оценка волатильности на будущее;
ожидаемая историческая – «летопись прогнозов» ожидаемой волатильности.
На рис. 12.1 приведен график исторической волатильности фьючерсов на контракт американского индекса акций S&P 500. Как видно из графика, в последнее время 10-дневная историческая волатильность (ИВ) значительно выше 10-дневной. Но в апреле она была ниже.
Для опционов ожидаемая волатильность является эталоном измерения, по которому можно определить их относительную ценность. Возьмем пример из жизни: чтобы сравнить два мешка картофеля, их сопоставляют в первую очередь по весу. Так и опционы сравнивают по ожидаемой волатильности. Это важно, поскольку других альтернатив для сравнения нет: опционы с одной и той же премией могут оказаться с разными страйками и сроками истечения.
Опционные трейдеры покупают и продают опционы в волатильностях. Никого не удивит, если трейдер скажет: «Я покупаю нефть за 14», имея в виду 14 долл. за баррель нефти. Поэтому не стоит удивляться, если он покупает опцион колл с дельтой 30 за 14 % волатильности.
На примере дельты вы, наверное, заметили, что существует несколько разных определений этого термина. При этом они не противоречат друг другу, а фокусируются на одном из свойств. Ниже мы дадим несколько определений волатильности. Начнем же с простого примера: вы купили акцию за 10 долл., продали ее за 12 долл., откупили за 11 долл. Продали за 11,50. Несомненно, рынок волатильный.
Что, если это произошло в половину единицы времени, т. е. рынок движется внутри данного ценового интервала очень бурно? Наверное, он в два раза более волатильный? Не совсем так. Ответ зависит от вашей стратегии хеджирования опциона базовым активом. Эту тему мы обсудим позже.