Сборник работ

Катасонов Владимир

Встаёт естественный вопрос: в силу подобных квази-религиозных корней науки отражаются ли как-то апофатические представления религии в научном знании? На двух примерах мы показываем в этой статье, что подобное отражение действительно имеет место в науке: в форме прямого изучения бесконечного и в форме так называемого принципа недостаточного основания. Начнём с последнего.

§ 2. Принцип недостаточного основания

Принцип недостаточного основания (или принцип индифферентности) непосредственно связан с принципом достаточного основания Лейбница: «…ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение оправданным без достаточного основания, почему дело обстоит именно так, а не иначе…» [134] Если же подобного достаточного основания не находится, то тогда в некоторых случаях делаются определённые выводы, подразумевая принцип недостаточного основания. Лучше разобрать это на примерах.

134

Монадология (N32), с. 418 // Лейбниц Г.
– В. Сочинения в

четырех томах. Т.1., М.,1982.

Важным примером применения принципа недостаточного основания является галилеевское «доказательство» закона инерции, как оно осуществлено в его знаменитом сочинении «Диалог о двух главнейших системах мира» [135] . Любопытна логика этого «доказательства»: Галилей рассматривает движение шарика по наклонной (идеальной или близкой к этому) плоскости при придании ему определённого импульса. Если исходный импульс направлен вверх по наклонной плоскости, то всякий согласится с тем, что движение шарика будет замедляться и потом сменится равноускоренным движением вниз по наклонной плоскости. Причём, замедление движения шарика при движении вверх будет тем больше, чем больше угол наклона плоскости. Если же исходный импульс направлен вниз по плоскости, то шарик будет в своём движении ускоряться тем быстрее, чем больше угол наклона плоскости. Если же, теперь, мы будем уменьшать угол наклона плоскости, то при движении шарика, — вверх или вниз по плоскости безразлично, — ускорение или замедление его будет всё меньше, и когда угол наклона будет нулевым, шарик не будет испытывать в своём движении ни ускорения, ни замедления, т. е. будет сохранять ту скорость, с которой он начал двигаться.

135

Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира. М.
– Л., 1948. С.118–119.

Здесь явно видна «работа» принципа недостаточного основания. Выделяется причина ускорения (замедления) шарика: наклон плоскости. И затем этот наклон устремляют к нулю. Если исчезает причина изменения скорости, то и само изменение исчезает: скорость сохраняется. Т. е., для изменения скорости в одну или другую сторону — увеличения или уменьшения — нет достаточной причины. Поэтому скорость сохраняется. Логической причиной сохранения скорости по величине и направлению оказывается незнание: мы не усматриваем причин, по которым эта скорость могла бы измениться. Незнание оказывается парадоксальным образом опорой знания.

Другой пример: «вывод» закона инерции Декартом. Здесь логическая причина сохранения скорости уже более весома: «Из того, что Бог не подвержен изменениям и постоянно действует одинаковым образом, мы можем также вывести некоторые правила, которые я называю законами природы и которые суть вторичные причины различных движений, замечаемых нами во всех телах, вследствие чего они имеют большое значение» [136] . Из того, что Бог не подвержен изменениям и всегда действует одинаковым образом, следует, что «всякая вещь в частности продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и изменяет его не иначе как от встречи с другими» [137] . Отсюда следует, что тело, само по себе, или сохраняет движение, или сохраняет покой (относительно абсолютного пространства). Отсюда же следует и то, что тело, не испытывающее воздействия других, стремится двигаться по прямой. Причина всё та же: «Она заключается в том, что Бог неизменен и что Он простейшим действием сохраняет движение в материи…» [138] Причиной движения по инерции, «сохранения движения» является неизменность Бога. По-видимому, это положительное качество. Но, однако, логический смысл его чисто отрицательный: мы не видим оснований для изменений в Боге, всесовершенном и всеблагом. И это отсутствие оснований влечёт постоянство Бога, постоянство Его действий в мире и, наконец, «сохранение движения», закон инерции. Логика та же, что и у Галилея: наше незнание оснований для изменений (в Боге) влечёт за собой формулировку закона инерции. Опять незнание оказывается, странным образом, незыблемым и твердейшим фундаментом знания…

136

Первоначала философии. С.368 // Декарт Р. Сочинения в двух томах. Т.1...

137

Там же.

138

Первоначала философии. С.369...

Ещё один аналогичный пример связан с основаниями теории вероятностей. Здание теории вероятностей можно представлять себе по-разному. Принципиальный момент здесь — это вопрос о вероятности так называемых элементарных исходов: вероятностей выпадания «орла» или «решётки» при бросании монеты, какой-то стороны кубика и т. д. Почему мы считаем, например, что вероятность выпадения «орла» у симметричной монеты равна вероятности выпадения «решётки» (и равна 0,5)?.. Так называемое частотное определение вероятности, развивавшееся в XX столетии, в частности, Р. Мизесом, не выдерживает элементарной критики. Утверждение о том, что вероятность появления признака А в определённой серии испытаний равна пределу частоты его появлений в конечном числе испытаний, невозможно оправдать без дополнительных и довольно искусственных ограничений. Нетрудно показать, что какой бы ни была частота r_n0 появления признака А в первых n₀ испытаниях, можно всегда построить такую последовательность испытаний с номерами n₁ > n₀ , что частоты r_n будут, начиная с некоторого N отстоять от r_n0 на некоторое e>0:

|r_n — r_n0|>e, n>N

Другими словами, частота в конечном числе испытаний отнюдь не характеризует предельную частоту появления признака. К последней невозможно «подобраться», так сказать, конечными испытаниями, если не делать дополнительных ограничительных предположений. Но каков философский смысл этих дополнительных предположений, что говорят они нам о самой реальности?.. [139]

Чуткие умы всегда чувствовали этот живой парадокс, заключённый в понятии вероятности: с помощью вероятностей элементарных исходов мы можем считать вероятности более сложных событий, но сосчитать вероятность самого элементарного исхода мы не можем [140] . А. Пуанкаре писал в своём «Исчислении вероятностей»: «Полное определение вероятности есть, тем самым, род порочного круга: как узнать, что все случаи равновероятны? Математическое определение здесь невозможно; мы должны в каждом применении делать соглашения (conventions), говоря, что мы рассматриваем такие-то и такие случаи как равновероятные. Эти соглашения не совсем произвольны, но они ускользают от сознания математика, который и не должен их исследовать, как только они уже приняты. Таким образом, целое задачи о вероятности распадается на два этапа исследования: первый, так сказать, метафизический, который оправдывает то или иное соглашение; и второй, математический, который применяет к этим соглашениям правила исчисления» [141] . Теория вероятностей как математическая дисциплина, особенно после формулировки её в аксиоматической форме А.Н.Колмогоровым в 1933 году, должна быть отнесена как раз ко второму этапу. А первый, метафизический, это и есть тот, которым мы сейчас занимаемся. Как же оправдать априорные вероятности, назначаемые элементарным исходам? Здесь мы опять видим в работе принцип недостаточного основания. Когда мы говорим о симметрии монеты или кубика, мы, на самом деле, и подчёркиваем как раз, что у нас нет оснований считать выпадение одной стороны более возможным, чем другой, и эта равновозможность превращается в исчислении вероятностей в равновероятность. Равновероятность элементарных исходов — всё тот же «закон инерции», всё то же парадоксальное строительство здания знания на фундаменте незнания, на фундаменте, прочность которого гарантирована именно абсолютностью незнания. Эта своеобразная апофатика оказывается лежащей и в основании теории вероятностей.

139

Подробнее см. в моей книге: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. Гл.V., М., 1993.

140

Например, зная вероятности выпадания всех цифр симметричного кубика (одна шестая), мы можем посчитать вероятность того что при бросании двух кубиков сумма выпавших цифр будет больше 8.

141

Poincare H. Calcul des probabilites. Paris, 1912. P.28–29.

§ 3. Научные теории бесконечности и апофатика

Но наиболее ярким «репрезентантом» апофатики в науке являются различные теории бесконечности и вообще всё, что связано с бесконечностью. И это неслучайно. Бесконечность в науке есть как бы отражение идеи христианского (библейского) Бога. Для греческой античности, в лице её наиболее авторитетных представителей, категория бесконечного не может входить в науку. «Бесконечное не существует ни в космосе, ни в уме», — говорил Аристотель. Бесконечное сближается греческой мыслью с неоформленным, текущим, со становлением, стоящим на границе бытия и небытия: бесконечное деление отрезка, бесконечное увеличение числа и т. д. [142] . В силу этого бесконечное — если даже и признавать его существование — непознаваемо. Другими словами, отношение к бесконечному в греческой античности именно апофатическое.

142

Подробнее см. в моей книге: Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г.Кантора. М., 1999.

С христианством в европейскую культуру приходит бесконечный Бог: всемогущий, всеведущий, всеблагой. В христианской теологии начинаются первые спекулятивные построения вокруг понятия бесконечности. Постепенно они проникают и в науку. Начинаются попытки катафатического подхода к бесконечности. Пока богословие, укоренённое в прямом духовном опыте богообщения, контролируемое соборным церковным сознанием, бдительно сохраняет трезвое представление о границах катафатического подхода, твёрдо помнит о непостижимости Божества в Нём Самом, спекулятивные построения, связанные с бесконечностью, не превосходят, так сказать, должной меры и соотносятся с традицией. Но со времени позднего средневековья ситуация в западном христианстве меняется. В богословии всё большую роль начинают играть отвлечённые рациональные построения (например, Николая из Кузы) с одной стороны, и в высшей степени нетрезвые мистические откровения — с другой (например, Мейстер Экхарт, Я.Беме и др). И у обеих этих линий всегда есть общий предмет для рассуждений: бесконечность. Поэтому возникающие в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисления совершенно неслучайны: почва для этих всходов уже подготовлена несколькими веками многообразных спекуляций о бесконечном. В то же время, дифференциальное и интегральное исчисления входят в науку достаточно «революционно», заглушая победными сообщениями о решении всё новых задач негромкие голоса скептиков, безуспешно пытающихся напомнить об апориях и парадоксах, неотделимых от понятия актуально бесконечного (Б.Паскаль, Дж. Беркли).

Однако собственно катафатики бесконечного сразу не получается. Три века дифференциальное и интегральное исчисления остаются, скорее, просто методом, чем строгой научной теорией: есть алгоритмы, но нет понимания. Нет, в частности, и строгой теории действительного числа. Положение начинает меняться только во второй половине XIX столетия. Предлагаются, в частности, несколько конструкций числового континуума — и все они используют актуальную бесконечность. Наконец, с 70-х годов XIX века Г.Кантор начинает публиковать свои статьи по теории множеств, которая должна была стать именно наукой (арифметикой, анализом) бесконечного. В бесконечном, которое до этого выступало как единое, непознанное начало, действительно проводятся некоторые важные различения. Кантор выделяет: Абсолют — бесконечное в Боге, трансфинитное — бесконечное в сотворённом мире, и трансфинитные числа — предмет его теории, арифметика бесконечного. Он трезво формулирует (вначале), что наука не занимается Абсолютом, предметом богословия. По поводу бесконечного в природе у Кантора были некоторые научные гипотезы, которые, однако, никогда и никем не были проверены [143] . Оставались только трансфиниты, теория множеств. Здесь с самого начала были обнаружены серьёзнейшие парадоксы. Один из них — парадокс Бурали-Форти (1897) — показывал противоречивость самого понятия шкалы всех порядковых чисел (ординалов). Кантор пытается «вытолкнуть» этот парадокс за границу теории множеств новым различением: констистентных и неконстистентных множественностей. Теория множеств по определению занимается только консистентными множественностями, т. е. такими, которые «можно мыслить без противоречия». А множество всех ординалов — неконсистентно… Но остаётся вопрос: а как проверять бесконечное множество на консистентность? Почему мы уверены, что даже самое простое бесконечное множество N = {1,2,3….} есть консистентное множество (Р.Дедекинд)? Ответов на это получено не было…

143

См. в моей книге: Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным... Гл.IV, §3.