Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики
Шрифт:

Настал момент записать теорему на бумаге, и тут Халмош с ужасом понял, что не может вспомнить все шаги доказательства. Что же делать? Вспомнить доказательство целиком решительно невозможно, а следующая встреча с фон Нейманом состоялась лишь спустя несколько дней.

Униженно улыбаясь, Халмош объяснил гениальному ученому, что произошло, и удостоился редкой чести наблюдать Джонни в гневе — фон Нейман никогда не выходил из себя. Ученый принялся за доказательство во второй раз, вновь преодолевая значительные трудности. К счастью, ему удалось повторить рассуждения и, потратив много времени, восстановить промежуточные действия и конечный результат, что стало настоящим подвигом даже для гения. В этот раз Халмош делал как можно более подробные записи.

Соль

этого анекдота заключается в том, что Халмош стал соавтором статьи фон Неймана, озаглавленной Operator Methods in Classical Mechanics II («Операторные методы в классической механике II»). А несостоявшаяся статья под номером I стала настоящей легендой в мире физики и математики.

Сочетания с повторениями

Поэт, прозаик и — иногда — математик Раймон Кено (1903–1976), который войдет в историю как автор романа «Зази в метро» (а также текста одной из песен Жюльетт Греко), однажды вторгся в область комбинаторного анализа. До него этот же путь проделал Моцарт, однако Кено применил комбинаторику в поэзии, что на первый взгляд кажется непростой задачей. В коротенькой книжечке «Сто тысяч миллиардов стихотворений», состоящей всего из десяти страниц, на каждой из которых напечатано по одному сонету, он описал способ, позволяющий создать новые сонеты — очень современные, со множеством скрытых смыслов — на основе нескольких заранее приготовленных строчек. Для этого достаточно было взять по одной полной строчке из каждого сонета, уже напечатанного в книге. Общее число сочетаний, таким образом, равнялось 1410 — более чем достаточно даже для самого плодовитого автора. Вооружившись калькулятором, нетрудно показать, что если мы будем составлять по одному стихотворению в минуту, то для того, чтобы записать их все, потребуется немногим меньше 200 миллионов лет.

Еще один способ применения комбинаторного анализа можно увидеть в прозе Артура Кларка, который был не только писателем, но и автором серьезных научных гипотез: в частности, он предложил разместить на орбите Земли искусственные геостационарные спутники, а также первым описал космический лифт. В рассказе «Девять миллиардов имен Бога» Кларк описывает компьютер, который печатает для монахов все возможные имена Бога, составляя их с помощью обычных перестановок. Монахи верят, что когда будут записаны все имена Бога, наступит конец света. Похоже, что это действительно так: пока компьютер закончит работу над задачей, мир успеет прекратить свое существование.

Взмахи крыльев бабочки

Чтобы понять, что такое эффект бабочки, сначала нужно объяснить, что такое хаос. В 1961 году метеоролог Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008) построил динамическую систему, которую применил в качестве модели для прогнозирования погоды. Однажды (возможно, поленившись) он ввел в компьютер число 0,506 вместо 0,506127 и, к своему удивлению, обнаружил, что это небольшое отклонение входных данных приводило к значительным изменениям состояния динамической системы. Лоренц проверял полученный результат снова и снова и всякий раз получал столь же удивительные результаты. Так официально появилась на свет одна из самых изучаемых тем в теории хаоса.

Более подробные исследования помогли несколько упорядочить этот хаос. Выходные данные по-прежнему оставались хаотическими, однако, проследовав непредсказуемыми путями, они стремились к некоему итоговому множеству, словно испытывая к нему непреодолимое влечение.

Множество всех этих бесконечно больших итоговых значений называется аттрактором. Когда точка динамической системы движется беспорядочно, хаотически, ее «пунктом назначения» на бесконечности будет точка аттрактора. Хаотическая траектория в каждый момент времени является хаотической,

однако на бесконечности, в пределе, который никогда не будет достигнут, она окончит свое существование в аттракторе.

Эта точка обладает, если можно так выразиться, неотразимой притягательностью. Лоренц первым проанализировал хаос метеорологических прогнозов и описал аттрактор — множество точек, по форме отдаленно напоминающее крылья бабочки. Разумеется, это множество является фрактальным, имеет размерность Хаусдорфа, равную 2,06 ± 0,01, и представляет собой настоящее геометрическое чудо.

Аттрактор Лоренца — трехмерное фрактальное множество, по форме напоминающее крылья бабочки.

Тот факт, что аттрактор напоминает крылья бабочки, пробудил воображение бесчисленного множества деятелей кино и литературы. Самым известным из них был, возможно, знаменитый писатель-фантаст Рэй Бредбери: в своем рассказе «И грянул гром» он описывает путешествие во времени, в ходе которого гибель одной доисторической бабочки приводит к значительным изменениям в современной политике — вместо либерального президента народ избирает ужасного диктатора-фашиста. Сложно найти более привлекательный образ: простой взмах крыльев бабочки в далеком прошлом способен определить настоящее, которое, как кажется, не имеет к этой бабочке никакого отношения. Динамические системы могут быть хаотическими, а небольшие предпосылки могут иметь огромные последствия. На небольших промежутках времени — ничто по сравнению с вечностью — предопределения не существует; хаос нависает грозной, бесконечно грозной тенью, которая не позволяет делать какие-либо прогнозы. На длительных промежутках времени наблюдается аттрактор, существующий необъяснимо далеко, в пределе, на границе бесконечности.

Лучшее — враг хорошего

Для чистокровного демократа из тех, что голосуют по любому поводу и верят, что их голос поможет изменить положение в обществе, идеалом является совершенная система голосования, удовлетворяющая определенным требованиям. Известны множество систем голосования (например, в Испании применяется метод д’Ондта), однако должна же существовать некая суперсистема, которая будет лучшей среди них. Ее предполагаемые характеристики, снабженные обширными комментариями, можно найти в интернете. Так как подробные описания различных систем голосования слишком объемны и скучны, не будем приводить их полностью. Ограничимся следующим указанием: идеальная система голосования, позволяющая принять общее решение на основе предпочтений отдельных лиц, должна соответствовать пяти разумным требованиям.

1. Отсутствие диктатуры: никакие личные предпочтения одного человека не могут влиять на остальных.

2. Индивидуальное упорядочение: каждый должен уметь упорядочивать свои предпочтения.

3. Единодушие: если все выбирают какой-то вариант, он является окончательным.

4. Единственность: результат голосования всегда будет одним и тем же, если предпочтения избирателей не меняются.

5. Независимость незначащих альтернатив: если исключить из голосования один вариант, остальные не изменятся.

Лауреат Нобелевской премии по экономике 1972 года Кеннет Эрроу (род. 1921) подробно изучил вышесказанные характеристики с точки зрения математики и вынес удивительный вердикт: не существует системы голосования, которая соответствовала бы всем указанным условиям. Она может соответствовать некоторым

из них, но не всем одновременно. «У каждого свои недостатки», как говорил герой

Билли Уайлдера в фильме «В джазе только девушки».

Красноречивое название
Поделиться:
Популярные книги

Неожиданный наследник

Яманов Александр
1. Царь Иоанн Кровавый
Приключения:
исторические приключения
5.00
рейтинг книги
Неожиданный наследник

Ты не мой Boy 2

Рам Янка
6. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
короткие любовные романы
5.00
рейтинг книги
Ты не мой Boy 2

Курсант: назад в СССР

Дамиров Рафаэль
1. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.33
рейтинг книги
Курсант: назад в СССР

Идеальный мир для Лекаря 4

Сапфир Олег
4. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 4

Приручитель женщин-монстров. Том 7

Дорничев Дмитрий
7. Покемоны? Какие покемоны?
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Приручитель женщин-монстров. Том 7

Я – Орк. Том 3

Лисицин Евгений
3. Я — Орк
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Я – Орк. Том 3

Титан империи

Артемов Александр Александрович
1. Титан Империи
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Титан империи

Цеховик. Книга 1. Отрицание

Ромов Дмитрий
1. Цеховик
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.75
рейтинг книги
Цеховик. Книга 1. Отрицание

Я все еще не князь. Книга XV

Дрейк Сириус
15. Дорогой барон!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я все еще не князь. Книга XV

Невеста на откуп

Белецкая Наталья
2. Невеста на откуп
Фантастика:
фэнтези
5.83
рейтинг книги
Невеста на откуп

Невеста напрокат

Завгородняя Анна Александровна
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.20
рейтинг книги
Невеста напрокат

Изменить нельзя простить

Томченко Анна
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Изменить нельзя простить

Фиктивный брак

Завгородняя Анна Александровна
Фантастика:
фэнтези
6.71
рейтинг книги
Фиктивный брак

Младший научный сотрудник

Тамбовский Сергей
1. МНС
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.40
рейтинг книги
Младший научный сотрудник