Тени разума. В поисках науки о сознании
Шрифт:
Что касается Героха, Хартла и квантовой гравитации, то проблема эквивалентности четырехмерных многообразий проникла в их анализ постольку, поскольку, согласно стандартнымправилам квантовой теории, квантово-гравитационное состояние предполагает суперпозиции (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возможных геометрий — пространственно-временных, в данном случае, геометрий, т.е. четырехмерных объектов. Для того чтобы понять, как определять такие суперпозиции каким-либо уникальным образом (во избежание путаницы при подсчете), необходимо знать, какие пространства-времена считать различными, а какие — одинаковыми. Проблема топологической эквивалентности представляет собой, таким образом, лишь часть более обширной задачи.
Читатель спросит: если вдруг подход Героха—Хартла к квантовой гравитации окажется физически корректным, будет ли это означать, что эволюция физических систем включает в себя нечто существенно невычислимое? Вряд ли на этот вопрос можно дать ясный и однозначный ответ. Мне не ясно даже, так ли непременно из численной неразрешимости проблемы топологической эквивалентности следует неразрешимость более полной
7.9. Машины с оракулом и физические законы
Можно, впрочем, задать и иной вопрос. Предположим, что новая теория квантовой гравитации действительно окажется невычислимой теорией — в том, в частности, смысле, что она позволит нам сконструировать физическое устройство, способное решить проблему остановки. Будет ли этого достаточно для разрешения всех проблем, порожденных нашими размышлениями о доказательстве Гёделя—Тьюринга в первой части книги? Как ни удивительно, ответ — нет!
Попробуем разобраться, почему способность решить проблему остановки ничем нам не поможет. В 1939 году Тьюринг предложил одну важную концепцию, имеющую к этому вопросу самое непосредственное отношение, — концепцию оракула. Идея такова: оракул есть нечто (предположительно, воображаемый объект, существующий лишь в голове самого Тьюринга и вовсе не обязательно реализуемый физически), что действительно может решить проблему остановки. Так, если дать оракулу пару натуральных чисел qи n, то он через некоторое конечное время выдаст нам ответ ДАили НЕТ, в зависимости от того, завершится в конце концов вычисление C q( n) или нет (см. §2.5 ). В §2.5 мы доказываем вывод Тьюринга о том, что такой оракул, действующий исключительно вычислительными методами, создать невозможно, однако там ничего не говорится о том, что оракул невозможно построить физически. Чтобы прийти к такому выводу, мы должны твердо знать, что физические законы являются по своей природе вычислительными — а мы этого не знаем, о чем, собственно, и идет, главным образом, речь во второй части. Следует также отметить, что физическая возможность создания оракула не является, насколько я могу судить, следствием из той точки зрения, которую я здесь отстаиваю. Как уже упоминалось, никто не требует, чтобы все проблемы остановки были доступны человеческому пониманию и проницательности, поэтому нет никаких оснований и полагать, что некое физически реализуемое устройство непременно справится со всеми этими проблемами своей физической реализуемости.
В дальнейшем обсуждении Тьюринг рассмотрел модификацию понятия вычислимости, когда оракула можно вызвать на любом желаемом этапе вычисления. Таким образом, машина с оракулом(выполняющим оракул-алгоритм) представляет собой самую обыкновенную машину Тьюринга, только к ее стандартным вычислительным операциям добавлена еще одна: «Вызвать оракул и спросить у него, завершается ли вычисление C q( n); по получении ответа продолжать вычисление, учитывая полученный ответ». Оракул можно вызывать снова и снова, если появляется такая необходимость. Отметим, что машина с оракулом является точно таким же детерминированным объектом, как и обычная машина Тьюринга (это для иллюстрации того факта, что вычислимость и детерминизм суть совершенно разные вещи). В принципе, вселенная, которая функционирует детерминированно как машина с оракулом, точно так же возможна, как и вселенная, которая функционирует детерминированно как машина Тьюринга. («Игрушечные вселенные», описанные в §1.9 и в НРК, на с. 170, представляют собой, по сути, вселенные-машины-с-оракулом.)
Может ли оказаться так, что и наша собственная Вселенная функционирует как машина с оракулом? Любопытно, что с помощью приведенных в первой части книги аргументов оракул-машинная модель математического понимания «развенчивается» столь же успешно, как и аналогичная модель на основе машины Тьюринга, причем изменений почти не требуется. Нужно всего лишь взять доказательство из §2.5 и условиться, что запись « C q( n)» обозначает теперь «выполнение q– й машиной с оракулом действия над натуральным числом n». Впрочем, лучше ввести другое обозначение, скажем, C' q ( n). Как и в случае обычных машин Тьюринга, мы можем составить (вычислимым образом) пронумерованный список машин с оракулом. Что касается их спецификаций, единственной дополнительной особенностью является то, что мы должны, помимо прочего, учитывать, на каких этапах вычисления вызывается оракул; никакой новой проблемы такой учет не составит. Далее мы заменяем алгоритм A( q, n) из §2.5 оракул-алгоритмом A'( q, n), который, в соответствии с исходным допущением, олицетворяет собой всю совокупность доступных человеческому пониманию
G' Для установления математической истины математики не применяют заведомо обоснованные оракул-алгоритмы.
Отсюда следует неутешительное заключение: физический процесс, функционирующий как машина с оракулом, наших проблем также не решит.
Вообще говоря, весь процесс можно повторить, применив его к «машинам с оракулом второго порядка», которым позволяется вызывать при необходимости оракул второго порядка — который способен установить, завершится работа обычной машины с оракулом или нет. Как и в предыдущем случае, приходим к выводу:
G'' Для установления математической истины математики не применяют заведомо обоснованные оракул-алгоритмы второго порядка.
Очевидно, что этот процесс можно повторять снова и снова — подобно многократной гёделизации, описанной нами в связи с возражением Q19. Для каждого рекурсивного (вычислимого) ординала вводится концепция машины с оракулом -го порядка, и мы снова получаем все тот же вывод:
G Для установления математической истины математики не применяют заведомо обоснованные оракул-алгоритмы -го порядка, где — любой вычислимый ординал.
Окончательное следствие из всего этого несколько даже пугает. Получается, что нам предстоит отыскать невычислимую физическую теорию, способную заглянуть дальше, чем описание машин с оракулом любого вычислимого уровня (или, возможно, еще дальше).
Нисколько не сомневаюсь, что найдутся читатели, которые скажут, что вот уж тут-то мои рассуждения окончательно растеряли последние крохи правдоподобия, которые в них еще оставались! И, разумеется, такие чувства вполне понятны. Непонятно лишь нежелание хотя бы ознакомиться со всеми доказательствами, которые я уже в подробностях приводил ранее. Нужно просто вновь пройти по всем доказательствам в главах 2 и 3 , заменяя в них машины Тьюринга на машины с оракулом -го порядка. Не думаю, что такая замена как-то существенно повлияет на суть этих доказательств, но меня, если честно, приводит в содрогание перспектива только ради нее повторять их здесь заново. Следует, впрочем, указать на еще одно обстоятельство: нет никакой необходимости в том, чтобы человеческое понимание приобрело ту же мощь, что и какая угодномашина с оракулом. Как было отмечено выше, вывод Gвовсе не обязательно предполагает, что человеческого понимания, в принципе, достаточно для того, чтобы решить любой конкретный случай проблемы остановки. Таким образом, все это не означает, что искомые физические законы в принципе должны непременно оказаться, более общими, нежели те, которыми описываются машины с оракулом любого вычислимого уровня (или хотя бы первого). Нам нужно лишь отыскать нечто, не являющееся эквивалентом любойконкретной машины с оракулом (включая сюда и машины с оракулом нулевогоуровня, т.е. собственно машины Тьюринга). Возможно, эти физические законы опишут нечто просто-напросто иное.
7.10. Невычислимость в квантовой гравитации (2)
Вернемся к квантовой гравитации. Необходимо подчеркнуть, что в настоящее время общепринятой теории квантовой гравитации не существует — нет даже сколько-нибудь приемлемых кандидатов. Есть зато множество самых разных и порой совершенно восхитительных гипотез {94} . Та, которую я хочу сейчас представить, требует, как и подход Героха—Хартла, учета квантовых суперпозиций различных пространств-времен. (Многие гипотезы говорят лишь о суперпозициях трехмерных пространственных геометрий, что несколько отличается.) Предположение (за авторством Дэвида Дойча {95} ) заключается в том, что в суперпозициях должны участвовать не только «правильные» пространственно-временные геометрии, в которых время ведет себя достаточно благоразумно, но и «неправильные» пространства-времена, в которых имеются замкнутые времениподобные линии. Такое пространство-время представлено на рис. 7.15 . Времениподобная линияописывает возможную историю частицы (классической), а «времениподобной» она называется потому, что во всех точках локального светового конуса линия всегда направлена внутрь конуса, т.е. локальная абсолютная скорость не превышается — в соответствии с требованием теории относительности (см. §4.4 ). Смысл замкнутости времениподобной линии в том, что мы можем представить себе «наблюдателя» [57] , для которого такая линия является мировой линией, т.е. линией, описывающей в данном пространстве-времени историю его собственного тела. Такой наблюдатель по прошествии некоторого конечного времени (согласно его восприятию) окажется в своем прошлом (перемещение во времени!). У него появляется возможность сделать что-нибудь такое (при условии, что он обладает какой-никакой «свободой воли»), чего он раньше никогда не делал, что неизбежно ведет к противоречию. (Обычно в таких умопостроениях наблюдатель убивает собственного дедушку «прежде», чем на свет появится его же отец — или совершает что-нибудь еще столь же волнительное.)
57
См. обращение к читателю в начале книги.