Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Первое приближение
Пусть радиусы окружностей равны a и a+c, а расстояние между их плоскостями равно b; тогда кратчайшее расстояние между дугами окружностей равно r=c^2+b^2.
Мы должны найти поток магнитной индукции сквозь одну из окружностей, обусловленный единичным током, протекающим по другой окружности.
Мы начнём с предположения, что обе окружности лежат в одной плоскости. Рассмотрим малый элемент s окружности, радиус которой равен a+c. В точке, находящейся в плоскости окружности на расстоянии от середины s и в направлении, образующим с направлением s угол , магнитная сила,
Чтобы вычислить поверхностный интеграл от этой силы по поверхности, лежащей внутри окружности радиуса a, мы должны найти значение интеграла
2s
/2
r
r
sin
d
d
,
где r и r являются корнями уравнения
r^2
–
2(a+c)
sin r
+
c^2
+
2ac
=
0,
а именно
r
=
(a+c)
sin
+
(a+c)^2sin^2-c^2-2ac
,
r
=
(a+c)
sin
–
(a+c)^2sin^2-c^2-2ac
,
и
sin^2
=
c^2+ac
(c+a)^2
.
Когда c мало по сравнению с a, мы можем положить
r
=
2asin ,
r
=
c/sin .
Интегрируя по , имеем
2s
1/2
ln
2a
c
sin^2
·
sin
d
=
=
2s
cos
2-ln
2a
c
sin^2
+
2ln tg
2
1/2
=
=
2s
ln
8a
c
– 2
(приближённо).
Таким образом, для всей индукции получаем
M
ac
=
4a
ln
8a
c
– 2
.
Так как магнитная сила в произвольной точке, расстояние от которой до искривлённого провода мало по сравнению с его радиусом кривизны, приблизительно такая же, что и магнитная сила прямого провода, мы можем (п. 684) подсчитать разность между потоком индукции через окружность радиуса a-c и окружность A по формуле
M
aA
–
M
ac
=
4a
{ln c-ln r}.
Откуда приближённо
M
Aa
=
4a
(ln 8a-ln r-2).
705. Поскольку взаимная индукция между двумя витками одной и той же катушки представляет собой весьма важную величину для расчётов экспериментальных результатов, я опишу сейчас метод, с помощью которого приближение к M для данного случая может быть осуществлено с любой требуемой степенью точности.
Мы будем предполагать, что величина M представлена в виде
M
=
4
A ln
8a
r
+
B
,
где
A
=
a
+
Ax
+
A
x^2
a
+
A'
y^2
a
A
x^3
a^2
+
A'
xy^2
a^2
+…
+
a
– (n-1)
{
x
n
A
n
+
x
n-2
x^2A'
n
+
x
n-4
xA''
n
+…}
+…
и
B
=
– 2a
+
Bx
+
B
x
a
+
B'
y^2
a
+
B
x^3
a^2
+
B'
xy^2
a^2
+… ,
a и a+x - радиусы окружностей, а y - расстояние между их плоскостями.
Нам нужно определить значения коэффициентов A и B. Очевидно, что они могут содержать только чётные степени y, потому что при изменении знака y величина M должна остаться неизменной.
Другой набор условий мы получаем из свойства взаимности коэффициента индукции, который остаётся тем же самым независимо от того, какую из окружностей мы берём в качестве первичной. Поэтому величина M должна остаться той же самой, когда в приведённых выше выражениях мы подставим a+x вместо a и -x вместо x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых сочетаниях x и y, мы находим таким способом следующие условия взаимности:
A
=
1-A
,
B
=
1-2-B
,
A
=
– A-A
,
B
=
1
3
–
1
2
A+A-B-B
,
A'
=
– A'-A'