Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
ГЛАВА XIV
КРУГОВЫЕ ТОКИ
Магнитный потенциал кругового тока
694. Магнитный потенциал, создаваемый в некоторой заданной точке контуром, несущим единичный ток, численно равен телесному углу с вершиной в этой точке, опирающемуся на контур, см. п. 409, 485.
В случае кругового контура телесный угол является телесным углом конуса второго порядка; для точки, находящейся на оси окружности, конус будет прямым. Если точка не находится на оси, конус является эллиптическим; его телесный угол равен площади сферического эллипса, вырезаемого им на сфере единичного
Эта площадь может быть выражена в конечном виде через эллиптические интегралы третьего рода. Мы увидим, однако, что более удобно разложить её в виде бесконечного ряда по сферическим гармоникам, поскольку те удобства, которые сопутствуют выполнению математических операций с общим членом такого ряда, с избытком перевешивают хлопоты, связанные с подсчётом числа членов ряда, достаточного для обеспечения практической точности.
Будем считать для общности, что начало координат расположено в произвольной точке оси окружности, т.е. на линии, проходящей через центр окружности перпендикулярно её плоскости.
Рис. 46
Пусть точка O (рис. 46) является центром окружности, расположенная на оси точка C выбрана за начало координат, а точка H находится на самой окружности.
Проведём сферу радиусом CH с центром в точке C. Рассматриваемая нами окружность будет лежать на сфере, являясь её малой окружностью с «угловым радиусом» .
Обозначим CH=c, OC=b=c cos , OH=a=c sin .
Пусть A будет полюсом сферы, а Z - какой-нибудь точкой на оси и пусть CZ=z. Пусть R - произвольная точка в пространстве: CR=x, ACR=.
Пусть P - точка пересечения сферы отрезком CR.
Магнитный потенциал, создаваемый круговым током, равен потенциалу, создаваемому ограниченной этим током магнитной оболочкой с единичной мощностью. Поскольку форма поверхности оболочки безразлична (лишь бы она была ограничена данной окружностью), мы можем предположить, что она совпадает с поверхностью сферы.
В п. 670 мы показали, что если V есть потенциал, создаваемый слоем материи с единичной поверхностной плотностью, распределённой по участку поверхности сферы, ограниченному её малой окружностью, то потенциал , создаваемый магнитной оболочкой, которая ограничена этой же окружностью и имеет единичную мощность, равен
=-
1
c
d
dr
(rV)
.
Мы должны, таким образом, прежде всего найти V.
Пусть заданная точка Z находится на оси окружности, тогда та часть потенциала в Z, которая создаётся элементом dS, расположенным на сферической поверхности в точке P, равна dS/ZP.
Это выражение можно разложить в один из двух следующих рядов по сферическим гармоникам:
dS
c
P
+
P
z
c
+…+
P
i
zi
ci
+…
,
или
dS
z
P
+
P
c
z
+…+
P
i
ci
zi
+…
,
первый ряд сходится при значениях z меньших c, а второй - при z больших c.
Записав dS=-c^2dd и интегрируя по в пределах от 0 до 2 и по , - от cos до 1, находим
V
=
2c
1
cos
P
d
+…+
zi
ci
1
cos
P
i
d
+…
,
(1)
или
V
=
2c
c^2
z
1
cos
P
d
+…+
ci
zi
1
cos
P
i
d
+…
.
(1')
Для Pi имеем характеристическое уравнение
i(i+1)
P
i
+
d
d
(1-^2)
dPi
d
=
0.
Следовательно,
1
P
i
d
=
1-^2
i(i+1)
dPi
d
.
(2)
Это выражение утрачивает смысл при i=0, но поскольку P, то
1
P
i
d
=
1-
.
(3)
Так как функция dPi/d возникает на каждом этапе этого исследования, мы будем обозначать её сокращённо через P'i. Величины P'i, соответствующие нескольким значениям i, даны в п. 698.
Теперь мы можем написать значение V в произвольной точке R, на оси или не на оси, путём замены r на z и умножения каждого из членов на зональную гармонику по того же порядка. Действительно, потенциал V должен допускать разложение в ряд по зональным гармоникам по с соответствующими коэффициентами. При =0 каждая из зональных гармоник обращается в единицу, и точка R лежит на оси. Следовательно, эти коэффициенты являются членами разложения V для точки, расположенной на оси. Таким образом, мы получаем два ряда:
V
=
2c
1-cos
+…+
sin^2
i(i+1)
ri
ci
P'
i
P
i
+…
,
(4)
или
V'
=
2
c^2
q
1-cos
+…+
sin^2
i(i+1)
ci
ri
P'
i
P