Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Если A=a, то ctg =b/(2a) и
dM
db
=
– 2
cos
{
2F
–
(1+sec^2)E
}.
Величина -dM/db характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.
Ввиду важности величины M для электромагнитных вычислений значения ln (M/4Aa), являющегося функцией b и, следовательно, только , протабулированы в интервале углов от 60 до 90 градусов через 6'.
Второе
Другое выражение для M, иногда более удобное, получается, если положить c=(r-r)/(r+r); в этом случае
M
=
8
Aa
1
c
{
F(c)
+
E(c)
}.
Как проводить линии магнитной силы для кругового тока
702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина M постоянна.
Вычислим величину
K
=
sin
(Fsin – Esin )^2
из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений .
Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат x и z; построим окружность с центром в точке x=(a/2)(sin +cosec ) с радиусом (a/2)(sin -cosec ). Для всех точек этой окружности величина c будет равна, sin . Следовательно, для всех точек этой окружности
M
=
8
Aa
1
K
,
A
=
1
64^2
M^2K
a
.
Теперь A является тем значением x, для которого была найдена величина M. Таким образом, если мы проведём линию, на которой x=A, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение M.
Задавая последовательно значения величины M, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для A получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных z, на которых x принимает найденные значения A, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.
Если положить m=8a и M=nm, то A=x=n^2Ka.. Величину n мы можем назвать индексом линии силы.
Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» 2.
2Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).
703. Если положение окружности, ось которой известна, считать заданным через расстояние b от её центра до какой-либо фиксированной точки на оси и через её радиус a, то коэффициент индукции M окружности по отношению к произвольной системе, состоящей из магнитов или токов, подчиняется следующему уравнению:
d^2M
da^2
+
d^2M
db^2
–
1
a
dM
da
=
0.
(1)
Чтобы доказать это, посмотрим, какое число линий магнитной силы будет пересекать окружность, если менять a или b.
(1). Пусть а становится равным a+a, а b остаётся постоянным. При такой вариации окружность, расширяясь, прочертит в своей плоскости кольцевую площадку шириной a.
Если через V обозначить магнитный потенциал в произвольной точке, а ось y направить параллельно оси окружности, то магнитная сила, перпендикулярная плоскости кольца, будет равна -dV/dy.
Для того чтобы найти поток магнитной индукции через эту кольцевую поверхность, мы должны взять интеграл
–
2
0
aa
dV
dy
d
,
где есть угловое положение точки на кольце.
Но эта величина представляет собой вариацию M, обусловленную изменением a, т.е. (dM/da)a. Отсюда
dM
da
=-
2
0
a
dV
dy
d
.
(2)
(2). Пусть b принимает значение b+b, а a остаётся постоянным. При такой вариации окружность прочерчивает цилиндрическую поверхность радиуса a длиной b.
Магнитная сила, перпендикулярная к этой поверхности, равна в любой точке величине dV/dr, где r - расстояние от оси.
Отсюда
dM
db
=
2
0
a
dV
dr
d
.
(3)
Дифференцируя уравнение (2) по a и уравнение (3) по b, получаем
d^2M
da^2
=-
2
0
dV
dy
d
–
2
0
a
d^2V
drdy
d
,
(4)
d^2M
db^2
=
2
0
a
d^2V
drdy
d
.
(5)
Следовательно,
d^2M
da^2
+
d^2M
db^2
=
–
2
0
dV
dy
d
=
1
a
dM
da
,
согласно (2).
(6)
Перенося последний член в левую часть, мы получаем уравнение (1).
Коэффициент индукции двух параллельных окружностей в случае, когда расстояние между их дугами мало по сравнению с радиусами обеих окружностей
704. Для этого случая мы могли бы получить величину M из разложения приведённых выше эллиптических интегралов при близких к единице значениях их модуля. Однако метод, который последует далее, представляет собой более непосредственное применение электрических принципов.