Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

_i

+…

.

(4')

695. Теперь мы можем, согласно методу п. 670, найти величину потенциала контура из уравнения

=-

1

c

d

dr

(Vr)

.

(5)

Отсюда получаем два ряда:

=

– 2

1-cos

+…+

sin^2

i

rⁱ

cⁱ

P'

_i

P

_i

+…

(6)

или

'

=

2

sin^2

1

2

c^2

r^2

P'

P

+…+

+

1

i+1

cⁱ⁺¹

rⁱ⁺¹

P'

_i

P

_i

+…

.

(6')

Ряд (6)

сходится при всех значениях r меньших c, а ряд (6') сходится для всех значений r больших c. На поверхности сферы, где r=c, оба ряда дают одно и то же значение , если превышает , т.е. для точек, не занятых магнитной оболочкой; если же величина меньше , т.е. для точек, находящихся на магнитной оболочке,

'

=

+

4

.

(7)

Если принять центр окружности O за начало координат, мы должны положить =/2, и тогда ряды станут такими:

=

– 2

1+

r

c

P

+…+

+

(-)

^s

1·3…(2s-1)

2·4…2s

r^2s+1

c^2s+1

P

_2s+1

+…

,

(8)

=

+2

1

2

c^2

r^2

P

+…+

+

(-)

^s

1·3…(2s+1)

2·4…(2s+2)

c^2s+2

r^2s+2

P

_2s+1

+…

,

(9)

где все гармоники являются гармониками нечётного порядка ¹.

¹ Величина телесного угла, опирающегося на окружность, может быть получена более непосредственным путём, а именно:

Телесный угол, опирающийся на окружность, с вершиной в точке Z, находящейся на оси, как легко показать, равен = 2

1-

z-c cos

HZ

.

Разлагая это выражение по сферическим гармоникам, находим = 2

(cos +1) + (P cos - P)

z

c +…+ + (P cos - P_i-1)

zⁱ

cⁱ +…

,

эти разложения справедливы для точек на оси при z меньших и больших c соответственно.

Легко показать, что эти результаты совпадают с полученными в тексте.

О потенциальной энергии двух круговых токов

696. Предположим вначале, что две магнитные оболочки, эквивалентные этим токам, представляют собой участки двух концентричных сфер, имеющих радиусы c и c, причём c больше c (рис. 47). Предположим также, что оси обеих оболочек совпадают и что и - это углы с вершинами в центре C, опирающиеся на радиус первой оболочки и на радиус второй оболочки соответственно.

Рис. 47

Пусть - потенциал, создаваемый первой оболочкой в произвольной точке, находящейся на этой же оболочке; тогда работа, необходимая для удаления второй оболочки на бесконечное расстояние, выражается величиной следующего поверхностного интеграла:

M

=-

d

dr

dS

,

распространённого на всю вторую оболочку. Следовательно,

M

=

1

d

dr

2c^2

d

,

=

4^2

sin^2

c^2

1

c

P'

1

P

+…+

+

c^i-1

cⁱ

P'

_i

1

P

_i

+…

,

или, подставляя значения интегралов из уравнения (2) п. 694,

M

=

4^2

sin^2

sin^2

c

1

2

c

c

P'

P'

+…+

+

1

i(i+1)

cⁱ

cⁱ

P'

_i

P'

_i

+…

.

697. Предположим теперь, что ось одной из оболочек повёрнута относительно точки C, взятой за центр, и составляет с осью другой оболочки угол (рис. 48).

Рис. 48

Нам нужно только ввести в выражение для M зональные гармоники по , и мы найдём более общую формулу для M:

M

=

4^2

sin^2

sin^2

c^2

1

2

c

c

P'

P'

P

+…+

+

1

i(i+1)

cⁱ

cⁱ

P'

_i

P'

_i

P