Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
+
1
576
x^2y
dP
dx^2dy^2
+…
.
Рассмотрим катушку, у которой внешний и внутренний радиусы соответственно равны A+/2 и A-/2, а расстояние плоскостей намотки до начала координат лежит в пределах от B+/2 до B-/2. В этом случае ширина катушки равна , её глубина - ; пусть эти величины малы по сравнению с A или C.
Для того чтобы подсчитать магнитное действие данной катушки, мы можем выписать последовательные члены рядов (6) и (6') п. 695 в следующем виде:
G
=
B
C
1+
1
24
2A^2-B^2
C
^2
–
1
8
A^2
C
^2
+…
,
G
=
2
A^2
C^3
1+
1
24
2
A^2
– 15
B^2
C
+
1
8
4B^2-A^2
C
^2
+…
,
G
=
3
A^2B
C
1+
1
24
1
A^2
–
25
C^2
+
35A^2
C
^2
+
+
5
24
4B^2-A^2
C
^2
+…
,
G
=
4
A^2(B^2- 1/4 A^2)
C
+
+
24
^2
C^1^1
{
C(8B^2-12A^2)
+
35A^2B^2(5A^2-B^2)
}+
+
5
8
^2
C^1^1
A^2{A-12A^2B^2+B}
,
…
, … ,
g
=
a^2
+
1
12
^2
,
g
=
2a^2b
+
1
6
b^2
,
g
=
3a^2
(b^2- 1/4 a^2)
+
8
^2(2b^2-3a^2)
+
4
^2
a^2
,
…
,
… .
Величины G, G, G, …
=-
2
+
2G
–
GrP
–
Gr^2P
–
… .
Величины g, g, … относятся к малой катушке. Значения ' в точках, где r больше C, равны
'
=
g
1
r^2
P
+
g
1
r^3
P
+
… .
Потенциал одной из этих катушек по отношению к другой в том случае, когда общий ток, протекающий через сечение каждой катушки, равен единице, следующий
M
=
GgP
+
GgP
+
… .
Как найти M через эллиптические интегралы
701. Когда расстояние между периметрами двух кругов соизмеримо с радиусом меньшего из них, приведённые здесь ряды не сходятся достаточно быстро. В любом случае, однако, мы можем найти выражение M для двух параллельных окружностей через эллиптические интегралы.
Действительно, пусть b - длина линии, соединяющей центры окружностей, пусть эта линия перпендикулярна плоскостям обеих окружностей и пусть A и a - радиусы окружностей; тогда
M
=
cos
r
ds
ds'
,
где интегрирование проводится по обеим замкнутым кривым.
В этом случае
r^2
=
A^2
+
a^2
+
b^2
–
2Aa
cos(-')
,
=
– '
,
ds
=
a
d
,
ds'
=
A
d'
,
M
=
2
0
2
0
Aa cos(-')dd'
A^2+a^2+b^2-2Aa cos(-')
=
=
– 4
Aa
c
–
2
c
F
+
2
c
E
,
где
c
=
2Aa
(A+a)^2+b^2
,
а F и E - полные эллиптические интегралы модуля c.
Отсюда, помня, что
dF
dc
=
1
c(1-c^2)
{E-(1-c^2)F}
,
dE
dc
=
1
c
(E-F)
,
и что c есть функция b, мы находим
dM
db
=
Aa
bc
1-c^2
{
(2-c^2)E
–
2(1-c^2)F
}.
Если обозначить через r и r наибольшее и наименьшее значения r, т.е.
r^2=(A+a)^2+b^2
,
r^2=(A-a)^2+b^2
,
и через - угол, у которого cos =r/r, то
dM
db
=
–
b sin
Aa
{
2F
–
(1+sec^2)E
},
где F и E– полные эллиптические интегралы первого и второго рода, модули которых равны sin .