Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

⁹ Как обычно, Максвелл в своих рассуждениях отправляется от модели. Здесь это была модель квазистационарного LC-контура с пространственно разделёнными полями. Но найденная им функция Лагранжа в выражении через поля правильна в самом общем случае, т.е. максвелловская модель дала верный ответ даже вне предела своей пригодности. Это произошло потому, что в ней фактически соблюдено уравнение непрерывности тока (ток в L-ветви равен производной от заряда в C-ветви), что, как известно, почти автоматически дополняет уравнения электродинамики током смещения.

Руководствуясь разумными доводами (например, поведениями представительных моделей в представительных условиях

или соображениями симметрии, инвариантности и т. п.), можно попытаться угадать вид функции Лагранжа, а затем испытать её на верность по стандартной схеме: уравнения движения - интерпретация - сравнение с экспериментом. Эта схема позволила, в частности, проникнуть в физику калибровочных полей. Она выглядит настолько естественной, что даже не ассоциируется с именем Максвелла,- предельный случай полного признания, когда авторство утрачивается в силу общечеловеческой значимости, как при изобретении колеса.

5. Уравнения поля

«Теория Максвелла - это уравнения Максвелла». Эта часто цитируемая оценка принадлежит Герцу [4]. В ней есть лозунговая экстремальность - она выставляет независимость ценности правильного результата от поисковых блужданий. Конечно, в «Трактате» обсуждается ещё и множество разнообразнейших проблем разной степени важности и общности, но уравнения электродинамики, сосредоточенные в п. 591-603, несомненно являют собой их кульминацию. Фактически уравнения были найдены задолго до первого издания «Трактата» и опубликованы в 1861-1862 гг. Но это не ослабляет волнения, охватывающего при знакомстве с ними в «Трактате», наверное, из-за возможности следовать шаг за шагом максвелловским путём приближения к ним.

К счастью, Максвелл избежал участи некоторых других первооткрывателей - ему не пришлось бороться за приоритет. Уравнения были неожиданны и не сразу поняты. Многие другие исследователи, занятые аналогичными делами, т.е. развивающие свои варианты теории, не восприняли достижения Максвелла как решающие и тем более как завершающие. Одной из причин, наверное, было привлечение образной, фарадеевского толка аргументации, о чем уже несколько раз говорилось выше. Это отпугивало, по крайней мере, некоторых континентальных физиков. Как ни странно, но такая территориальная поляризация наблюдалась на самом деле: немецкая и французская наука была более привержена рассудочному, аналитическому способу познания, чем британская,- тяготевшая к образным, геометрическим методам. И шло это традиционно ещё со времён Великого Противостояния дифференциалов Лейбница и флюксий Ньютона. Вообще написанные Максвеллом уравнения показались «конкурентам» неубедительными и неубедительно обоснованными. И они не приняли их за фундаментальные исходные законы, по существу не нуждающиеся в почленной аргументации и не подлежащие выводу из иерархически более элементарных (такая потребность возникла позже в процессе создания квантовой теории поля).

Другими причинами были, видимо, изобилие этих уравнений, непривычный их облик и ещё неполная очищенность от некоторых частностей (подробности - чуть позже). Максвелл писал: «Эти соотношения можно считать основополагающими. Их можно было бы скомбинировать так, чтобы исключить некоторые из величин. Однако наша задача сейчас состоит не в получении компактных математических формул, а в написании выражения для каждого соотношения, о котором мы что-либо знаем. На этой стадии исследования исключение любой величины, отражающей полезную идею, было бы скорее потерей, чем выигрышем» («Трактат», п. 615).

Представленная Максвеллом итоговая система уравнений (а в ней присутствовали уравнения и для полей, и для потенциалов, и материальные связи, и выражения для сил) была внутренне непротиворечива,

так что решение вопроса об излишествах действительно отступало пока на второй план: всё это уладилось позже при формулировке и доказательстве теорем единственности (и существования, конечно). Первостепеннее стояла проблема полноты и замкнутости (и достоверности, конечно). По этому поводу Максвелл не позволил себе высказывать какие-либо общие сентенции, но привёл несколько простейших решений для предъявления экспериментаторам. Как мы знаем, все контрольные эффекты, предложенные самим Максвеллом (а также несколькими поколениями исследователей позже), прошли обоснованную экспериментальную экспертизу, в том смысле, что были подтверждены в пределах точности, с которой макроскопическая электродинамика оказалась вообще справедливой.

Далее мы проведём сопоставление сводных уравнений электродинамики, содержащихся в «Трактате», с уравнениями Максвелла в их современном представлении. Для этого воспроизведём формульную часть п. 618 (этот параграф имеет название «Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений») и рядом с каждой трактатной формой поместим соответствующее ей выражение в обозначениях, принятых теперь с использованием гауссовой системы единиц ¹⁰.

¹⁰ В «Трактате» сводные уравнения помечены не цифрами, а прописными буквами латинского алфавита и тем выделены от рядовых формул. Правда, три уравнения вообще никак ие означены: для них мы ввели малые греческие буквы , , .

Уравнение для магнитной индукции

B

=

V·A

,

B=xA

=

rot A

,

(A)

B - магнитная индукция, A - вектор-потенциал (электрический)

Уравнения для электродвижущей напряжённости

E

=

V·GB

–

A

–

,

E

=

1

c

uxB

–

1

c

A

t

–

(B)

E - напряжённость электрического поля, - скалярный потенциал (электрический), u - скорость контура или системы отсчёта, c - скорость света в вакууме.

Уравнение для механической силы

F

=

V·CB

+

eE

–

m

,

f

=

1

c

j

^e

_пол

xB

+

^e

E

–

^m

,

(C)

f - объёмная плотность силы, j^e_пол=j^e_пр+j^e_см– плотность полного (истинного электрического тока, j^e_пр– плотность тока проводимости, j^e_см– плотность тока смещения, ^e– плотность электрического заряда, ^m– плотность магнитного заряда, - скалярный потенциал (магнитный).