Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Уравнения для полей (1) - (4) разбиваются на две пары: (1) и (4) выражают поля через их источники - электрические заряды и токи, а (2) и (3) источников не содержат, это автономная пара уравнений, определяющая связь между E и B, причём универсально, вне зависимости от материальных соотношений и от свойств источников. Так вот, источниковые уравнения (1) и (4) написаны Максвеллом сразу в «окончательном виде», принятом потом. Это соответственно (Е) и (J). В них скрыто содержится и уравнение непрерывности для токов проводимости (или конвекции)

div j

^e

+

^e

t

=

0.

(7)

Его Максвелл не вставляет в эту совокупность, что не означает, однако, что он не относит его к числу основополагающих. Более того, отсутствие в системе (А) - уравнения непрерывности, возможно, даже

обусловлено вполне последовательными доводами: Максвелл считал его более общим, так сказать, надэлектродинамическим законом природы.

Другая автономная пара (2) и (3) представлена в «Трактате» иначе. Во-первых, Максвелл ввёл в (В) проводящий контур, движущийся со скоростью и относительно других неподвижных элементов системы (среды), что позволило ему установить (так сказать, попутно, заодно) закон преобразования полей при переходе в движущуюся (инерциальную) систему отсчёта (в нерелятивистском приближении, однако). Это и есть остаточный след модели. Его легко устранить, положив u=0 (редкая ситуация, когда частный случай инициирует более общие соотношения!). Во-вторых, Максвелл не прибегнул к форме (2), (3), а как бы, опустив её (возможно, даже и не заметив этого), сразу выдал решение: уравнения (2), (3) тождественно удовлетворяются, если представить E и B через потенциалы A, , рассматриваемые пока как произвольные функции координат и времени:

E

=-

1

c

A

t

–

,

B

=

rot A

(8)

При u=0 (8) точно совпадает с (А) и (В). Фактически Максвелл вышел на соотношения (8) путём последовательных обобщений разных модельных ситуаций. Но тем сильнее, как нам кажется, мы должны проникнуться чувством преклонения перед таинственной силой (в смысле мощи интуиции) Великого Ума: Максвелл нашёл функциональное решение уравнений, минуя сами уравнения ¹¹, причём нашёл в самом общем виде, и вдобавок в таком, который подсказал ещё один, иной и по-иному содержательный подход к описанию электромагнитных полей вообще. Уравнения (2), (3) были явно выписаны О. Хевисайдом, и Дж. Дж. Томсон успел вставить их в примечания к 3-му изданию «Трактата» (см. примеч. к п. 598).

¹¹ Впрочем, вопрос этот не решается однозначно. В «Трактате» решения (8) и в самом деле написаны без уравнений (2), (3), однако в одной из ранних своих работ [7] Максвелл выписал второе уравнение в явиом виде, а потом почему-то отнес его к производным, а не основным уравнениям. В сборнике [15] имеется очень содержательная статья Н. Т. Маркчева, где дается сводка и сравнение всех разновидностей систем уравнений электродинамики в их исторической последовательности от трех максвелловских до многочисленных (хотя и тоже не всех) после.

Конечно, уравнения (1) - (4) и их прообразы в «Трактате» предполагают дифференцируемость всех встречающихся в них полей. Правда, каждому дифференциальному уравнению может быть поставлено в соответствие интегральное уравнение, где это ограничение на поля снимается. Максвелл отводил такому описанию (как уже отмечалось, обладающему большим сродством с полевыми представлениями Фарадея) важную роль в формировании науки, посвящённой топологии векторных (а затем уже и тензорных любого ранга) полей (в отношении полей электромагнитных в этом деле ещё и сейчас есть изрядные недоработки). Но, несмотря на большую общность, в сводном перечне уравнений в «Трактате» интегральная запись не фигурирует, а должные замечания по этому поводу рассеяны по разным разделам текста. Пока ещё Максвелл искал принципиально правильные связи и только после получения доказательств их правильности должен был возникнуть следующий вопрос - установление наиболее общих правильных связей. А аппарат для решения этого вопроса был уже наготове. Более того, он включил в основную совокупность уравнений (К), которое мы интерпретируем сейчас как граничное условие - условие, определяющее закон перехода полей (в данном случае нормальных компонент D) через границу раздела сред (в данном случае через заряженную поверхность) и которое, строго говоря, вытекает из интегрального соотношения, обобщающего (4):

S

D

dS

=

4

V

dV

,

где замкнутая поверхность S охватывает весь объём V. Таким образом, можно думать, что Максвелл временно отложил обсуждение вопроса о справедливости общих интегральных уравнений для электромагнитных полей и соответственно об общих условиях скачкообразного или непрерывного перехода разных компонент разных полей через резкие границы раздела сред¹².

¹² В переписанной Максвеллом для второго издания Предварительной главе (именно в таком виде она фигурирует в данном переводе) вопросу о свойствах разрывных функций уделено специальное внимание. А эта глава - подготовительная, в какой-то мере способствующая раскрытию замыслов автора. Более того, и в электростатике, и в магнитостатике, и в теории стационарных токов постановка краевых задач для потенциалов (и полей) обсуждается на самом строгом уровне, так что гипотеза, по которой Максвелл не упустил из виду, а отложил написание сводных интегральных уравнений и краевых условий, имеет достаточные основания.

Вторая группа уравнений, представляющая материальные связи, фактически не подвергалась никаким изменениям и выглядит вполне по-современному: (5) совпадает с , (L), (G) с точностью до обозначений. При этом Максвелл не ставил целью установление каких-то общих связей, ограничившись простейшими. Чуть позже, в главах XX-XXI, он расширит возможные свойства сред, включив анизотропию (зависимость от направления) и оговорив дисперсию (зависимость от частоты). Важно отметить, что в этом простейшем наборе связей не сделано ни опущений, ни излишеств, а названо ровно столько соотношений, сколько необходимо для замыкания всей системы уравнений. Проблема замыкания и в наше время доставляет кое-какие беспокойства [13], так как для различных способов описания электромагнитных полей требуются разные независимые функции, причём одни из них могут быть вспомогательными («скрытыми от измерений»), а другие физически адекватными измеряемым величинам. Система (1) - (4) содержит 3x5=15 скалярных величин, подлежащих определению; это компоненты векторов E, D, H, B и j^e (заряд ^e всюду, кроме идеальной электростатики, находится по известному распределению токов j^e). Попарные подсистемы (2), (3) и (1), (4) налагают каждая только по три (а не четыре!) связи на искомые вектора. В самом деле: из (2) - (3) шесть компонент векторов E и B выражаются через три компоненты A и скаляр , но последние благодаря градиентной инвариантности ещё допускают введение одной скалярной функции f, которой можно распорядиться произвольным образом. Напомним, что градиентной (или калибровочной) инвариантностью называется независимость векторов E и B относительно преобразования потенциалов

A'

– >

A

–

f

,

'

=

+

1

c

f

t

.

(9)

В результате система (1) - (4), содержащая 15 скалярных величин, фактически производит только шесть независимых ограничений первого порядка. И следовательно, для её замыкания требуется ещё девять связей; как раз именно столько выдают материальные соотношения (5).

Обращение к потенциалам, заметим, оказалось и здесь - при оценке условий замыкания системы уравнений поля - продуктивной необходимостью, так как без максвелловского представления (8) вряд ли возможно было установить инвариантное преобразование (9). В таком явном окончательно оформленном виде оно не встречается в «Трактате», хотя в процессе выхода на уравнения (8) Максвелл неоднократно обсуждает вопросы о неоднозначности введения скалярного и векторных потенциалов порознь.

Осталось обсудить наиболее трудное место, связанное с выводом выражения для механической силы (С). То, что в (С) наряду с членом, описывающим силу, действующую на токи, входит одновременно ещё и член, соответствующий силе, действующей на фиктивные магнитные заряды, с помощью которых можно заменить (с известными оговорками) действие замкнутых токов, не должно приводить к недоразумениям: нужные пояснения сделаны в соответствующих параграфах «Трактата», относящихся к магнитостатике. Но обобщение равноправности такого подхода на произвольно текущие во времени процессы требует всё же некоторых дополнений.

Постольку поскольку магнитные заряды рассматриваются как вспомогательные величины, вводимые ради методических удобств, то не имеет смысла говорить и о плотности механической силы, действующей на них со стороны поля, как о величине физически измеряемой, однако можно утверждать, что суммарная (интегральная) сила на всю систему токов проводимости будет совпадать с силой на эквивалентные им магнитные листы. Причём если в силе, действующей на токи, фигурирует вектор магнитной индукции, то в силе на магнитные заряды «занят» вектор напряжённости магнитного поля H. По существу, это равносильно тому, что, так сказать, «будущий» принцип двойственности, т.е. принцип инвариантности уравнений поля относительно дуальной замены E->H, H->– E, ^e– >^m, j^e– >j^m, ^m– >– ^e, j^m– >– j^e, - справедлив также и в своём силовом проявлении. Останется ли такая дуальность справедливой при воздействии на «реальные» магнитные монополи, если таковые всё-таки будут найдены в природе, по-видимому, нельзя разрешить внутри собственно максвелловской электродинамики, а в прогностических теориях неоспариваемой ясности нет вплоть до настоящего времени [14].