Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
F
1
=
dp
1
–
dT
q
,
dt
dq
1
(19)
или
F
1
=
d
dt
dTq
dq1
–
dTq
dq1
(20)
Уравнения
565. В предыдущих исследованиях мы избегали рассмотрения вида функции, выражающей кинетическую энергию через скорости или импульсы, и приняли для неё единственное явное выражение
T
pq
=
= 1/2 (
p
1
q
1
+
p
2
q
2
+…)
,
(21)
в котором кинетическая энергия выражена как полусумма произведений каждого импульса на соответствующую ему скорость.
Мы можем выразить скорости через частные производные от Tp по импульсам, как и в уравнении (3):
T
p
=
1
2
p
1
dTp
dp1
+
p
2
dTp
dp2
+…
.
(22)
Это показывает, что Tp является однородной функцией вторых степеней импульсов p1,p2,….
Мы можем также выразить импульсы через Tq и найдём
T
q
=
1
2
q
1
dTq
dq1
+
q
2
dTq
dq2
+…
,
(23)
откуда видно, что Tq есть однородная функция вторых степеней скоростей q1,q2,….
Если мы запишем
P
11
вместо
d^2Tq
dq1^2
,
P
12
вместо
d^2Tq
dq1dq2
, …
и
Q
11
вместо
d^2Tp
dp1^2
,
Q
12
вместо
d^2Tq
dp1dp2
, … ,
то, поскольку Tq и Tp являются функциями второй степени q и p соответственно, Q и P должны быть функциями только переменных q и не зависеть от скоростей и импульсов. Таким образом, мы получаем выражения для T:
2T
q
=
P
11
q
1
^2
+
P
12
q
1
q
2
+…,
(24)
2T
p
=
Q
11
p
1
^2
+
Q
12
p
1
p
2
+….
(25)
Импульсы выражаются через скорости с помощью линейных уравнений
p
1
=
P
11
q
1
+
P
12
q
2
+…,
(26)
и скорости выражаются через импульсы с помощью линейных уравнений
q
1
=
Q
11
p
1
+
Q
12
p
2
+….
(27)
В трактатах по динамике твёрдого тела коэффициенты, соответствующие величинам P11, т.е. имеющие одинаковые индексы, называются моментами инерции, а коэффициенты, соответствующие величинам P12, в которых индексы различны, называются произведениями инерции. Мы можем распространить эти названия и на более общую задачу, которая в настоящее время стоит перед нами и в которой эти величины, в отличие от случая твёрдого тела, не являются абсолютными константами, а зависят от переменных q1,q2,….
Подобным же образом мы можем назвать коэффициенты типа Q11 моментами подвижности, а коэффициенты типа Q12– произведениями подвижности. Однако нам не часто представится возможность говорить об этих самых коэффициентах подвижности.
566. Кинетическая энергия системы является величиной, существенно положительной или равной нулю. Отсюда следует, что коэффициенты должны быть такими, чтобы никакие вещественные значения переменных величин не могли бы сделать энергию отрицательной, независимо от того, выражена ли она через скорости или через импульсы.
Таким образом, существует целый набор необходимых условий, которым должны удовлетворять значения коэффициентов P. Эти условия следующие.
Все величины P11,P12,… должны быть положительны.
Все (n-1) определителей, которые последовательно получаются из детерминанта
P
11
,
P
12
,
P
13
,
…
P
1n
P