Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

¹⁷Exp. Res., 217.

Концепция, которой придерживался Фарадей относительно непрерывности силовых линий, исключала возможность их внезапного рождения там, где раньше их не существовало вообще. Следовательно, число силовых линий, пронизывающих проводящий контур, можно менять лишь путём перемещения контура поперёк силовых линий или перемещением силовых линий поперёк контура. В любом случае в контуре образуется ток.

Число силовых линий, проходящих сквозь контур в произвольный момент времени, математически эквивалентно более ранней концепции Фарадея об электротоническом состоянии этого контура; оно представлено величиной M.

Только после того, как определение электродвижущей

силы (п. 69 , 274) и способы её измерения были сделаны более точными, мы можем полностью сформулировать истинный закон магнитоэлектрической индукции следующим образом:

Полная электродвижущая сила, действующая вдоль контура в произвольный момент времени, измеряется скоростью уменьшения числа линий магнитной силы, проходящих сквозь контур.

Будучи проинтегрированным по времени, это утверждение становится таким:

Интеграл по времени от полной электродвижущей силы, действующей вдоль контура, вместе с числом проходящих сквозь контур линий магнитной силы составляет постоянную величину.

Вместо того, чтобы говорить о числе линий магнитной силы, мы можем говорить о потоке магнитной индукции сквозь контур или о поверхностном интеграле от магнитной индукции, распространённом на любую поверхность, ограниченную контуром.

Мы потом снова вернёмся к этому методу Фарадея. Перед этим нам следует перечислить теории индукции, основанные на других соображениях.

Закон Ленца

542. В 1834 г. Ленц ¹⁸ сформулировал следующее замечательное соотношение между явлениями механического действия электрических токов (так, как они были определены формулой Ампера) и индукцией электрических токов, обусловленной относительным движением проводников. Более ранняя попытка установления такого соотношения была изложена Ритчи (Ritchie) в журнале Philosophical Magazine в январе того же года, но направление индуцированного тока в каждом случае было установлено им неверно. Закон Ленца состоит в следующем:

Если в первичном контуре A течёт постоянный ток и если при перемещении первичного контура A или вторичного контура B в этом вторичном контуре B индуцируется ток, то его направление будет таким, чтобы своим электромагнитным воздействием на A он стремился воспрепятствовать относительному перемещению контуров.

¹⁸Pogg. Ann., XXXI, p. 483 (1834).

Ф. Е. Нейман ¹⁹ основал, опираясь на этот закон, свою математическую теорию индукции, в которой установил математический закон для токов индукции, вызванных движением первичного или вторичного проводника. Он показал, что величина M, названная нами потенциалом одного контура на другом, совпадает с электромагнитным потенциалом одного контура на другом, который мы уже изучали в связи с формулой Ампера.

¹⁹Berlin Akad., 1845 and 1847.

Таким образом, мы можем считать, что математический метод, ранее применённый Ампером для описания механического действия токов, был распространён Ф. Е. Нейманом на индукцию токов.

543. Вскоре Гельмгольц в своём «Очерке о сохранении силы» ²⁰ и сэр У. Томсон ²¹, занявшийся этим вопросом независимо от него, но несколько позже, сделали шаг, представляющий ещё большую научную важность. Они показали, что открытая Фарадеем индукция электрических токов может быть выведена математически путём применения принципа сохранения энергии из открытых Эрстедом и Ампером электромагнитных действий.

²⁰ Прочитано вначале перед Берлинским физическим обществом 23 июля 1847 г. Затем переведено в «Научных трудах» Тейлора (Tailor’s «Scientific Memoirs», part II, p. 114).

²¹Trans. Brit. Ass., 1848 and Phil. Mag., Dec. 1851. См. также его статью «Переходные электрические токи» («Transient Electric Currents», Phil. Mag., June 1853).

Гельмгольц рассматривает случай проводящего контура с сопротивлением R, в котором действует электродвижущая сила A, возникающая от вольтовой или термоэлектрической батареи. Ток в контуре в какой-то момент времени равен I. Он предполагает, что движется вблизи контура какой-либо магнит и что его потенциал относительно проводника равен V; поэтому в течение любого малого интервала времени dt энергия, сообщаемая магниту электромагнитным действием, равна I(dV/dt)dt.

Работа, затраченная на образование тепла в контуре, равна (в соответствии с законом Джоуля, п. 242) I^2Rdt, а работа, затраченная электродвижущей силой A на поддержание тока I в течение времени dt, равна AIdt. Следовательно, так как полная выполненная работа должна быть равна работе затраченной, то

AIdt

=

I^2Rdt

+I

dV

dt

dt

.

Отсюда мы находим силу тока:

A

–

dV

I

=

dt

.

R

Но значение A мы можем выбрать любым по своему усмотрению. Возьмём A=0 тогда,

I

=-

1

R

dV

dt

,

или, иначе говоря, должен существовать ток, обусловленный движением магнита, равный току, обусловленному электродвижущей силой -(dV/dt).

Полный индуцированный ток за время движения магнита от места, где его потенциал V₁, к месту, где его потенциал V₂, равен

I

dt

=-

1

R

dV

dt

dt

=

1

R

(V

₁

– V

₂

),

и, следовательно, полный ток не зависит от скорости или пути магнита, а зависит только от его начального и конечного положений.

В своём первоначальном исследовании Гельмгольц принял систему единиц, основанную на измерении тепла, образуемого током в проводнике. Рассматривая единицу тока как произвольную, мы получим, что единица сопротивления есть сопротивление проводника, в котором единичный ток за единицу времени порождает единицу тепла. Единицей электродвижущей силы в этой системе является такая, которая требуется для получения единичного тока в проводнике с единичным сопротивлением. Принятие этой системы единиц делает необходимым введение в уравнения величины a, являющейся механическим эквивалентом единицы тепла. Поскольку мы неизменно принимаем либо электростатическую, либо электромагнитную систему единиц, то этот множитель не встречается в приводимых здесь уравнениях.

544. Гельмгольц вычисляет также ток индукции для случая, когда проводящий контур и контур, несущий постоянный ток, движутся друг относительно друга.

Пусть R₁, R₂ будут сопротивления; I₁, I₂– токи; A₁, A₂– внешние электродвижущие силы, а V - потенциал одного контура на другом при единичном токе в каждом из контуров, тогда, как и раньше, мы имеем

A

₁

I